课件
第二章 控制系统的数学模型
第1部分
胡敦利
===== 幻灯片 2 =====
本章重点
用拉氏变换求解微分方程的方法
传递函数的概念，传函的求法
开环传函、闭环传函、误差传函等
结构图的等效变换
梅逊公式
难点： 结构图等效变换的方法
各传递函数的求法
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自控系统的数学模型：描述系统在运动过程中各物理变
量之间相互关系的数学表达式。
建模： 深入了解元件及系统的动态特性，准确建立它们
的数学模型
数学模型的几种表示方式：
数学模型
时域模型 频域模型 方框图和信号流图 状态空间模型
建模方法： 解析法（ 或机理分析法）
实验法（或系统辨识法）
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一.元件数学模型的建立（微分方程的列写）
步骤：
分析元件的工作原理、确定输入量、输出量，
找出中间变量
列写各变量的微分方程
消去中间变量，只保留输入、输出量
标准化：输入量放右端，输出量放左端
（降幂排列）
不包含储能元件用K代替，如果有储能参数用T。
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R
输入变量 U1
u1 C u2
i 输出变量 U2
u1 Ri 1C idt
u 2 1C idt
RC
du 2
dt
u 2 u1
T du 2
dt u 2 u1 T RC
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R2 i2
输入变量：U1
R1 A
C i3 输出变量：U2
-
U1
i1 + U2 R2
令T R 2 C k
R1
du 2 R du 2
R 2C u 2 2 u1 T u 2 ku 1
dt R1 dt
系统的运动完全不一样，但可以有相同的数学规
律与动态模型
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R1 R2 图为由一RC组成的
四端无源网络。试
i2
U1 i1 C1 C2 U2 列写以U1(t)为输入
量，U2(t)为输出量
的网络微分方程
du 2 2 du 2
R 1C1 R 2 C 2 dt 2 (R 1C1 R 2 C 2 R 1C 2 ) dt u 2 u1
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试列写质量块m
F k 在外力F(t) 作用
下，位移X(t)的
运动方程。
m
d 2x dx
m 2 f kx F
dt dt
X(t)
f
系统的运动完全不一样，但可以有相同的数学规律与
动态模型
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步骤:
1.先由系统原理线路图画出系统方框图.
2. 分别列写各元件的微分方程.
3. 消去中间变量得到描述系统输入、输出变量之
间的微分方程 .
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L∑R∑
R12
R1 Us R0
Uc
A Ud SM
R2 R0 n
Ufn
R3
R4 TG
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小偏差法：指非线性元件的变量，在动态过程中，
只在偏离某一工作点附近不大的范围内变化，这
种偏离很小的工作状态，可近似地作为线性来处
理。 例
用数学方法来处理，就是将一个非线性函数
在某工作点附近展开成泰勒级数。然后略去二次
以上的高次项，得到线性化方程用来代替原来的
非线性函数。
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e
A l
e0
△e
△if
i0 if
0
dl (i f )
Δe tanα0 Δi f | i f i0 Δi f
dt
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一、拉氏变换定义（P596）
设函数f(t)满足
① t<0时 f(t)= 0 物理上可实现
② t>0时，f(t)分段连续
st
0 f(t)e dt 在s的某一域内收敛
则f(t)的拉氏变换存在，其表达式记作
F(s) [f(t)] f(t)e stdt
0
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F(s)=L[ f(t) ]
1.线性定理
L[a1f1(t) a 2f2(t)] a1F1(s) a 2F2(s)
2.位移定理
L[e atf(t)] F(s a)
3.延迟定理
L[f(t τ)] eτsF(s)
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4.终值定理
lim
t
f(t) lim
s 0
sF(s) 条件：函数必须存在终值
5.微分定理
df(t) d 2f(t)
L[ ] sF(s) f(0) L[ ] s 2
F(s) sf(0) f '
(0)
dt dt 2
6.积分定理
F(s) f 1(0) f 2(0)
L[ f(t)dt] 2 2
s s s
f(-1)(0) 是 f(t)dt 在t 0 时的值
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7.初值定理
f(0) lim f(t) lim sF(s)
t 0 s
8.卷积定理
t
Lf1(t)* f2(t) L 0 f1(τ) f2(t τ)dτ F1(s) F2(s)
两个原函数的卷积相应于它们象函数的乘积
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① 查表
② 部分分式法
F(s) F1(s) F2(s) F3(s) .....
n
Fi(s)
i 1
f(t) L1 F1(s) L1 F2(s)
f1(t) f2(t) 留数求法？
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f(t)
1、阶跃函数
A
f(t) A I(t)
0 t0
f(t)
A t0 0 t
A
LA I(t)
S
当时 A=1 称为单位阶跃，其可作为输入函数，
也可作为干扰
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2、斜坡函数（速度函数）
f(t) A t
A
F(s)
s2
0 t
当时 A=1 称为单位斜坡函数
3、 抛物线函数（等加速度函数）
1 2 a
f(t) at F(s) 3
2 s
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4.单位脉冲函数
(t ) F(s) 1
5.正弦函数
f(t) sinωt F(s) 2
s ω2
6.指数函数
1
f(t) e at
F(s)
sa
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1.方程两端同时进行拉氏变换
2.利用拉氏的基本性质与运算法则求得C(s)
3.进行部分分式分解,取拉氏反变换
4.求出的c(t)叫系统的响应
举例：
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微分方程的解: 特解+齐次微分方程的通解
通解:由微分方程的特征根所决定
无重根:
1 , 2 ,.......n
模态e , e ,......e
1t 2 t nt
有重根:
模态 : te , t e ,......
t 2 t
有共轭复根:
j
模态 : e sin t , e cos t ,......
t t
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变化的曲线及表达式。
缺点：如系统的结构改变或某个参数变化时，
就要重新列写并求解微分方程，不便于对系统
的分析和设计。引入传递函数概念。
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1.定义
线性系统的传递函数，定义为在零初始条件下，
输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。
C(s)
G(s) 只适用于线性元件或线性系统
R(s)
2．求取
di i
① s ② ts
dti
③ 要求所有变量变成为大写；例
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性质1
① 与微分方程一一对应;
② 传函只反映系统的动态性能（自身固有
性质）与输入输出无关。不反映物理组成，
不同物理元件可能有相同传函；
③ 输入信号作用位置与输出信号的取出
位置不同，传递函数不一样；
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性质2
传递函数只适用于线性元件与线性系统，只适用
于单变量控制系统（多变量不行）。如果是多个
输入对一个输出也可以
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b 0s m b1s m 1 b m
G(s) n n 1
n m ??
a 0s a 1s a n
零点 b0s m b1s m 1 b m 0
极点、特征根
n
a 0s a 1s n 1
an 0
-1.33 -0.5
零极点图
-2 z2 -1 z1
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1.比例环节（放大环节）
C(s)
G(s) k
R(s)
式中 k-增益
特点 输入输出量成比例，无失真和时间延迟。
实例 电子放大器，齿轮，电阻（电位器），感
应式变送器等。
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dc(t) 1
T c(t) r(t) G(s) 一阶系统
dt TS 1
T 时间常数; T 越大惯性越大
特点
含一个储能元件，对突变的输入其输出不能立即
复现，由于惯性造成传递迟后，输出无振荡。
实例
RC网络、 RL网络、 直流伺服电动机的传递函数
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t k 1
c(t) k 0 r(t)dt G(s)
s Ts
T 1/ k 积分时间常数
特点
输出量与输入量的积分成正比例，当输入消失，
输出具有记忆功能。凡有贮存或积累特点的元
件，都有积分环节的特性。
实例
电动机角速度与角度间的传递函数，模拟计算
机中的积分器等。
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（1）理想微分环节 G(s)τs
微分特性总是含有惯性的，纯微分只是数学
上的假设，当惯性作用较弱，而微分作用突出时，
就可看成为微分环节 。
Ts
（2）实用微分环节 G(s)
Ts 1
（3）一阶微分环节（比例微分）
dr(t) C(s)
c(t) τ r(t) G(s) τs 1
dt R(s)
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2
2 d c(t) dc(t)
T 2
2ξT c(t) r(t)
dt dt
C(s) 1
G(s) 2 2
R(s) T s 2ξTs 1
ξ 阻尼系数 T 时间常数
特点
环节中有两个独立的储能元件，并可进
行能量交换，其输出出现振荡。
实例
RLC电路的输出与输入电压间的传递函数
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c(t) r(t τ)
G(s) e τs 延迟时间
特点
输出量能准确复现输入量，但须延迟一固
定的时间间隔
实例
管道压力、流量等物理量的控制，其数学
模型就包含有延迟环节
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（1）典型环节是按数学模型来划分，因此与元
件不是一一对应关系。一个元件可以同时包含
很多典型环节.
例：电动机包含比例、积分、惯性环节.
（2）输入量和输出量不同，包含的环节是不一
样的 .
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(1). 典型环节形式
b 0s m b1s m 1 b m b m (d 0s m d 1s m -1 1)
G(s)
n
a s a s n 1 a a n
(c 0
s n
c 1
s n -1
1)
0 1 n
m
Π (τis 1) bm
Ki 1 K
n an
Π (Tjs 1)
j1
K 叫系统放大系数（放大倍数、增益）
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(2) .零极点形式
m
m ' m 1
b 0 s b1 s b '
m
Π(s z )
i 1
i
G(s) n ' n 1 '
K 1 n
a 0 s c1 s c n
Π(s p )
j 1
j
K1根增益
s z i 系统的零点
s p j
系统的极点
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