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\[G(j\omega)H(j\omega) = \frac{K(1+jT\omega)}{-\omega^2} = \frac{K\sqrt{(1+T^2\omega^2)}}{\omega^2}\angle \arctan T\omega - 180°\]
由截止频率的定义可知
\[|G(j\omega_c)H(j\omega_c)| = \frac{K\sqrt{(1+T^2\omega_c^2)}}{\omega_c^2} = 1\]
即
\[\omega_c^4 - T^2K^2\omega_c^2 - K^2 = 0\]
解得
\[\omega_c = \sqrt{\frac{T^2K^2+\sqrt{T^4K^4+4K^2}}{2}}\]
故 \(\omega_c\) 是 \(K\) 的增函数，即 \(K\) 增大时，截止频率 \(\omega_c\) 会增大。
由相角裕度的定义可知
\[\gamma = 180° + \varphi(\omega_c) = \arctan T\omega_c\]
而 \(\arctan\omega_c\) 是 \(\omega_c\) 的增函数，故 \(\gamma\) 是 \(\omega_c\) 的增函数，即截止频率 \(\omega_c\) 增大时，相角裕度 \(\gamma\) 会增大。
综上，\(\gamma\) 是 \(K\) 的增函数，即 \(K\) 增大时，相角裕度 \(\gamma\) 会增大。
图 5-92 单位反馈系统结构图
5-46 设单位反馈系统结构图如图5-92所示，其中，\(K=10\)；\(T=0.1\)时，截止频率\(\omega_c=5\)。若要求\(\omega_c\)不变，问\(K\)与\(T\)如何变化才能使系统的相角裕度提高\(45°\)？
解 系统的开环传递函数为
\[G(s) = \frac{K(Ts+1)}{s+1}G_0(s)\]
则开环频率特性为
\[G(j\omega) = \frac{K(jT\omega+1)}{j\omega+1}G_0(j\omega) = \frac{K\sqrt{1+T^2\omega^2}}{\sqrt{1+\omega^2}}|G_0(j\omega)|e^{-j[\arctan T\omega-\arctan\omega+\angle G_0(j\omega)]}\]
由\(|G(j\omega_c)|_{\omega_c=5}=1\)，\(K=10\)和\(T=0.1\)，得
\[\frac{10\sqrt{1+0.01\times25}}{\sqrt{1+25}}|G_0(j5)| = 1\]
解得
\[|G_0(j5)| = 0.456\]
若要求\(\omega_c\)不变，使系统的相角裕度提高\(45°\)，则
\[\arctan5T - \arctan5 + \angle G_0(j5) - [\arctan0.5 - \arctan5 + \angle G_0(j5)] = 45°\]
\[\arctan5T - \arctan0.5 = 45°\]
解得
\[T=0.6\]
再由
\[|G(j\omega_c)| = \frac{K\sqrt{1+T^2\omega_c^2}}{\sqrt{1+\omega_c^2}}|G_0(j\omega_c)| = 1\]
将\(T=0.6\)和\(\omega_c=5\)及\(|G_0(j5)|=0.456\)代入，解得
\[K=3.536\]
5-47 设两个系统的开环传递函数分别为
(1) \(G(s) = \dfrac{K}{s(Ts+1)}\)；(2) \(G(s) = \dfrac{K(Ts+1)}{s^2}\)。