第07讲 根轨迹:是什么、怎么画、画完干什么

这一讲是第四章的总纲课,老师没做题,是把整章的地图铺开。所以这份笔记的任务是: 让你在完全没接触过根轨迹的情况下,读完能说清"根轨迹到底是什么东西、为什么要它、九条法则大致在干嘛、画出来怎么用"。 具体画图和计算的手上功夫在第08、09讲的例题里练。

0. 先补前置:这一讲你必须先有的几块底子

【补前置】下面这些词后面会反复出现。如果你对其中任何一条没把握,先在这里读懂再往下走,否则后面一定会懵。

0.1 什么叫"极点""零点"

系统的传递函数是一个分式,比如

• 这式子在说什么:它是这个系统"输入怎么变成输出"的一张身份证(用复变量 \(s\) 写成的比值)。
• 每个符号是什么:
• \(s\) 是复变量(复数,形如 \(\sigma+j\omega\)。\(j\) 是数学里的虚数单位 \(\sqrt{-1}\),工程里因为字母 \(i\) 被电流占了所以写 \(j\))。现在你可以把 \(s\) 就理解成"一张平面上的一个点":横坐标 \(\sigma\) 是实部,纵坐标 \(\omega\) 是虚部。这张平面叫 s 平面(复平面)。
• 零点:让分子等于零的那些 \(s\) 值。上式分子 \(K^*(s+3)=0\) 给出 \(s=-3\),所以 \(z_1=-3\) 是一个零点。直观含义:零点让分子为零。注意它不改变极点的位置,它影响的是响应里各个分量的系数大小(哪一段运动占得多、哪一段几乎看不见)——4.1 节讲"偶极子"时正是靠这一点。(不要把 \(s=-3\) 读成"频率",\(s\) 平面既不是时间轴也不是频率轴,见 1.1 节【你可能会以为】。)
• 极点:让分母等于零的那些 \(s\) 值。上式是 \(s=-1,-5,-10\),共三个极点。分母为零时整个分式冲到无穷大,系统在这里最敏感;更实用的理解见 0.2——极点决定系统响应里出现什么样的运动。
• \(K^*\) 叫根轨迹增益(也叫开环根增益):把分子分母都写成 \((s+a)\) 这种一次因式连乘之后,提在最前面的那个放大系数。
• 怎么用:后面所有画图法则吃进去的输入,就是"开环零点在哪、开环极点在哪、各有几个"。所以拿到题第一件事永远是把开环传递函数因式分解,把零极点点在 s 平面上。
• 【补前置】写法约定:零点在 \(-3\) 时,教材统一写成 \((s-z_i)\),代入 \(z_i=-3\) 得 \((s+3)\)。别把 \(z_i\) 的负号丢了,这是新手最常见的低级错。

0.1.1 【补前置】\(K\) 和 \(K^*\) 不是一个东西(必须先分清,否则"求稳定 K 的范围"直接答错)

零基础读到"增益"两个字会默认只有一个数。不是。 同一个开环传递函数有两种标准写法,各配一个不同的放大系数,数值一般不相等(据PPT第4章幻灯片6):

零极点形式(根轨迹这一章画图用的就是它) $\(G(s)H(s)=\frac{K^*\prod_{i=1}^{m}(s-z_i)}{\prod_{j=1}^{n}(s-p_j)}\)$ 每个因式写成 \((s-z_i)\)、\((s-p_j)\),即 \(s\) 的系数是 1。前面提出来的 \(K^*\) 叫根轨迹增益(PPT写作"开环根增益")。

典型环节形式(第3章求稳态误差、第5章画 Bode 图用的是它) $\(G(s)H(s)=\frac{K\prod_{i=1}^{m}(\tau_i s+1)}{\prod_{j=1}^{n}(T_j s+1)}\)$ 每个因式写成 \((\tau s+1)\),即常数项是 1。前面提出来的 \(K\) 叫开环增益(PPT写作"放大增益、放大倍数")。

换算关系(据PPT幻灯片7,按幅值/取模补正后写出): $\(K=K^*\,\frac{\prod_{i=1}^{m}|z_i|}{\prod_{j=1}^{n}|p_j|}\)$ - 这式子从哪来:把两种写法在 \(s=0\) 处取值,必须相等。零极点形式给 \(K^*\prod(-z_i)/\prod(-p_j)\),典型环节形式给 \(K\),于是 \(K=K^*\prod(-z_i)/\prod(-p_j)\);当所有零极点都在左半平面时 \(-z_i,-p_j\) 都是正数,写成取模形式 \(\prod|z_i|/\prod|p_j|\) 更省心。PPT幻灯片7 给的是不带模的原式,这里的绝对值是本笔记为避免符号错而做的取模补正。 - 特例陷阱:若开环含积分环节(有极点 \(p_j=0\)),上式分母里出现 \(0\),不能直接套——此时把 \(s^v\) 那几个因子单独留在外面,只对非零的零极点做换算。 - 【难点】所以看到"求使系统稳定的 K 的取值范围"这种题干,先问一句:题目给的开环传递函数是哪种形式写的? 用法则7 从虚轴交点解出来的是 \(K^*\);如果题目问的是开环增益 \(K\),必须再用上式换算一次。这是本章最常见的"会画图却算错答案"。 - 本笔记约定:凡写 \(K^*\) 一律指根轨迹增益,凡写 \(K\) 一律指开环增益;引用真题原话时保留原题的写法。

【补前置】开环与闭环: 系统一般接成一个环:输入 → 前向通道 \(G(s)\) → 输出,输出经反馈通道 \(H(s)\) 绕回来与输入比较。 - 开环传递函数 \(G(s)H(s)\):把环在比较点剪断,信号沿环走一圈的总传递函数。它是我们手里已知的东西。 - 闭环传递函数 \(\Phi(s)=\dfrac{G(s)}{1+G(s)H(s)}\)(据PPT第4章幻灯片8):环接上后真实的输入到输出关系。它是我们真正关心的东西。 - 这一整章的套路一句话:用已知的开环零极点,推出未知的闭环极点会跑到哪里去。 老师开头那句"我们借助开环传递函数来分析闭环系统的性能",说的就是这件事。

0.2 为什么死盯着"闭环特征根"

闭环特征方程就是闭环传递函数的分母等于零:\(1+G(s)H(s)=0\)。它的解叫闭环特征根,也就是闭环极点(同一样东西的两个叫法,考试两种说法都会出现)。

为什么它们决定一切?这是第3章的结论,这里说清:一个闭环极点 \(s=\sigma+j\omega\),在时域响应里对应一段分量

• 这式子在说什么:每个闭环极点在输出波形里"贡献一段运动"。
• 符号意义:\(\sigma\)(实部)管幅度是涨还是消;\(\omega\)(虚部)管振不振荡、振多快;\(A,B\) 是由初始条件和零点决定的系数(数学上叫这一项的留数),这里先不用管,4.1 节讲偶极子时正要用到它。
• 于是三种命运:
• \(\sigma<0\)(极点在左半平面)→ \(e^{\sigma t}\) 随时间衰减 → 这一分量最终消失;\(|\sigma|\) 越大衰减越快。
• \(\sigma=0\)(极点在虚轴上)→ \(e^{0}=1\),幅度不增不减 → 等幅振荡,称临界稳定。
• \(\sigma>0\)(极点在右半平面)→ \(e^{\sigma t}\) 指数增长 → 振幅越来越大 → 不稳定(老师说的"指数发散的振荡")。

所以:闭环极点的位置 = 系统的命运。 这是整章的立足点。

0.3 名词一次性扫干净

• 参变量:题目里那个"会变的量"。可以是根轨迹增益 \(K^*\)、开环增益 \(K\)(两者的区别见 0.1.1,别当成同一个数)、某个时间常数 \(T\)、某个零点或极点的位置。根轨迹研究的就是"这个量变化时闭环极点怎么跑"。
• 时间常数 \(T\):惯性环节 \(\dfrac{1}{Ts+1}\) 里的 \(T\),单位秒,表示"系统反应有多迟钝",\(T\) 越大越慢。据PPT第4章幻灯片7,\(\tau_i=\dfrac{1}{z_i}\)、\(T_j=\dfrac{1}{p_j}\),本笔记按取模补正为 \(T_j=\dfrac{1}{|p_j|}\)、\(\tau_i=\dfrac{1}{|z_i|}\)(时间常数取正值)——时间常数就是极点/零点数值的倒数。
• 自然频率 \(\omega_n\)(无阻尼振荡频率):二阶系统里的另一个参数,单位 rad/s,量的是"这个系统固有振多快"。几何上它就是共轭闭环极点到原点的距离。\(\omega_n\) 越大,响应的时间尺度越短(整体越快),但它不影响超调量的百分比。
• 超调量 \(\sigma\%\):输出冲过稳态值的百分比(第3章指标)。注意符号撞车:本讲 0.2 节起的 \(\sigma\) 一直表示极点的实部,而 \(\sigma\%\)(带百分号)表示超调量,是完全不同的两个量,教材沿用了同一个字母,读的时候看有没有 \(\%\)。
• 留数:把响应按每个极点拆成若干分量时,某个分量前面的那个系数。大白话就是"这一段运动在总输出里占多大分量"。零点和初始条件决定它,极点位置不决定它。
• 相角(幅角):复平面上从原点指向某个复数的箭头,与正实轴的夹角。\(-1\) 在负实轴上,相角 \(180°\);\(+1\) 在正实轴上,相角 \(0°\)。这两句话就是"180度根轨迹"和"0度根轨迹"名字的全部来源,记死它。
• 模值(幅值):那根箭头的长度。\(|-1|=1\),\(|+1|=1\)——两者一样,这正好解释了后面"0°与180°的幅值条件完全相同、只有相角条件不同"。
• 最小相位 / 非最小相位环节:据PPT第4章幻灯片35——零点与极点全在 s 左半平面的环节叫最小相位环节;只要有零点或极点在右半平面就是非最小相位环节;系统中只要含一个非最小相位环节,该系统就叫非最小相位系统。典型长相是 \((1-Ts)\) 这种带减号的因子(它的零点 \(s=+1/T\) 在右半平面)。
• 主导极点:离虚轴最近的那个(或那对)闭环极点。它衰减最慢,响应主要由它说了算。判据(第3章结论,老师本讲重述):其余极点到虚轴的距离大于主导极点到虚轴距离的 5 倍以上时,其余分量很快衰减掉可忽略,高阶系统就近似成由这对主导极点构成的二阶系统。
• 偶极子:一个零点和一个极点靠得非常近(且离其他极点较远)。零点在分子、极点在分母,二者作用近似抵消,这一对基本不影响响应。
• 阻尼比 \(\zeta\)(读作"zeta",字幕里被念成"可c"):二阶系统中描述振荡剧烈程度的无量纲数。\(0<\zeta<1\) 叫欠阻尼(会振荡但收敛)。\(\zeta\) 越小越爱振、超调越大。

1. 根轨迹到底是什么

1.1 定义(据PPT第4章幻灯片5,措辞按教学需要展开)

在已知开环模型的基础上,随着开环某个参数从 \(0\) 变化到 \(\infty\),闭环特征根运动的轨迹,叫根轨迹。

拆开讲: 1. 手里有的:开环传递函数(零极点已知),里面有一个可调参数,通常是 \(K^*\)。 2. 让它动:把 \(K^*\) 从 0 慢慢拧到无穷大。 3. 看什么:每给定一个 \(K^*\),闭环特征方程 \(1+G(s)H(s)=0\) 就有一组解(闭环极点);\(K^*\) 连续变化,这组解就在 s 平面上连续滑动,滑出来的一条条曲线就是根轨迹。

生活类比:音响的音量旋钮(\(K^*\))从最小拧到最大,系统的"性格"(闭环极点)在一张地图上走出几条路线。根轨迹就是把这几条路线画下来,于是"拧到多大会啸叫(不稳定)"一眼可见。

但类比到此为止。 严谨说法是:根轨迹是方程 \(1+G(s)H(s)=0\) 的根随参数变化所形成的几何轨迹,不是什么物理路径。

【你可能会以为】根轨迹是"系统输出随时间画出的曲线"。 但其实不是。横纵坐标是复平面的实部与虚部,曲线上一个点代表一个闭环极点的位置,不是时间波形上的一点。曲线上"走"的不是时间,是参变量 \(K^*\)。 因为根轨迹研究的是"参数 → 极点位置"这个映射,时间根本没进来。这两件事混起来,后面所有分析都会错。

【难点】为什么盯着"根的位置"就能同时看出稳、快、准? - 难在哪:零基础会觉得"位置"和"性能"八竿子打不着。 - 为什么难:因为中间隔着 0.2 节那座 \(e^{\sigma t}\) 的桥,而这座桥是第3章搭的,视频默认你还记得。 - 正确理解:极点 \(\sigma+j\omega\) → 响应分量 \(e^{\sigma t}(\cdots)\) → 在左半平面则衰减(稳)、\(|\sigma|\) 大则衰减快(快)、\(\omega\) 相对 \(\sigma\) 大则振荡凶(超调大、平稳性差)。位置与性能之间是这条链子连着的,不是巧合。 这条链子不熟,第4章后面全是死记硬背。

1.2 根轨迹方程与两个基本条件

从闭环特征方程出发(据PPT第4章幻灯片8):

• 这式子在说什么:s 平面上任何一个点,只要代进开环传递函数算出来等于 \(-1\),这个点就在根轨迹上。 这就叫"根轨迹方程"(PPT原话:满足上式的点都必然是根轨迹上的点)。
• 怎么用:理论上可以逐点验证,实际上一个个试不可能——这正是必须推出"绘制法则"的原因。

把开环传递函数写成零极点形式(据PPT幻灯片6、9):

• 符号:\(\prod\) 是连乘号(与求和号 \(\sum\) 对应),\(\prod_{i=1}^{m}(s-z_i)\) 就是 \((s-z_1)(s-z_2)\cdots(s-z_m)\) 的缩写。\(m\) = 开环有限零点个数,\(n\) = 开环极点个数。

一个复数等式要成立,必须长度相等且角度相等,于是拆成两条(据PPT幻灯片9):

幅值(模值)条件 $\(\frac{K^*\prod_{i=1}^{m}|s-z_i|}{\prod_{j=1}^{n}|s-p_j|}=1\)$ - 在说什么:该点到各开环零点的距离之积乘上 \(K^*\),除以该点到各开环极点的距离之积,等于 1。 - 符号:\(|s-z_i|\) 是点 \(s\) 到零点 \(z_i\) 的直线距离(复数的模就是平面上两点的距离)。 - 怎么用:用来算参数。已知某点在根轨迹上,反解它对应的 \(K^*\);或已知 \(K^*\) 去定位点。

相角条件 $\(\sum_{i=1}^{m}\angle(s-z_i)-\sum_{j=1}^{n}\angle(s-p_j)=(2k+1)\pi,\quad k=0,\pm1,\pm2,\dots\)$ - 在说什么:该点到各零点的方向角之和,减去到各极点的方向角之和,等于 \(180°\) 的奇数倍。 - 符号:\(\angle(s-z_i)\) 是从零点 \(z_i\) 指向该点 \(s\) 的箭头与正实轴的夹角(逆时针为正)。\(\pi\) 就是 \(180°\)。\((2k+1)\pi\) 取遍 \(\pm180°,\pm540°,\dots\),都是"指向负实轴"的方向,与 \(-1\) 的相角一致。 - 怎么用:判断点在不在轨迹上、用来画图。九条法则里绝大部分由它推出。

【难点】为什么相角条件是绘制根轨迹的充分必要条件,而幅值条件不是? - 难在哪:两个条件看起来地位平等,凭什么相角"更重要"。 - 正确理解:相角条件里不含 \(K^*\)(\(K^*\) 是正实数,不改变相角),所以它是一个只关于点的位置的条件——满足就在轨迹上,不满足就不在,一刀两断。而幅值条件里含 \(K^*\):平面上随便给一个点,我总能解出一个 \(K^*\) 让它成立,所以它筛不掉任何点,起不到判定作用;它的价值是"算出这个点对应多大的 \(K^*\)"。 - 据PPT幻灯片10原文:"相角条件是决定系统根轨迹的充分必要条件","各个点所对应的增益可由模值方程得到"。 - 考试落点:老师提到"证明复平面上的根轨迹是圆"这类题,用相角条件更容易,正是因为绕开了未知的 \(K^*\)。(据考点分析 26北方工业大学专业课考点分析_p005.md 第19-20行(第(四)线性系统的根轨迹法一节):"幅值条件和幅角条件:是一个比较重要的知识点,但真题还没考过,建议学一学";"有一个重点,如何判断根轨迹是圆,这个也是个固定题型"。)

【你可能会以为】幅值条件没什么用,可以略过。 但其实它是所有"定量计算"题的钥匙:给闭环极点求 \(K^*\)、给 \(K^*\) 求闭环极点,靠的都是它(或等价地靠特征方程)。 因为画图只解决"在哪条路上",要落到具体数值,只能靠幅值条件把 \(K^*\) 和位置绑在一起。

2. 三类根轨迹:180度、0度、参数

老师这一讲的骨干,是把根轨迹分成三类并讲清它们的关系。

2.1 判据在哪里:看根轨迹方程右端是 \(-1\) 还是 \(+1\)

据PPT第4章幻灯片40,把根轨迹方程整理成

• 【补前置】符号 \(\mp\) 读作"负或正",是把两种情形写在一个式子里的省写:上面的负号对应一种情形、下面的正号对应另一种,并不是一个数。(与它配对的 \(\pm\) 读作"正负"。)这里就是说:右端要么是 \(-1\)、要么是 \(+1\)。

右端是 \(-1\) → 画 180° 根轨迹(常规根轨迹);右端是 \(+1\) → 画 0° 根轨迹。

名字来源:\(-1\) 在负实轴上相角 \(180°\),\(+1\) 在正实轴上相角 \(0°\)。

【难点】"符号并不完全取决于反馈的极性"——这是本讲最容易栽的一句话。 - 难在哪:直觉是"负反馈→180°,正反馈→0°",这个直觉只对一半。 - 老师给的两个反例(依据补齐): 1. 系统主回路是单位负反馈,但内部含一个局部正反馈小回路。把总闭环特征方程整理出来后符号可能翻过来 → 按 0° 画。 2. 系统结构上是负反馈,但开环传递函数含 \((1-Ts)\) 这样的非最小相位环节(\(T>0\) 时零点 \(s=+1/T\) 在右半平面)。整理成标准形式(把最高次项系数变正)时要提一个负号出来 → 右端变 \(+1\) → 也按 0° 画。 - 正确做法(据PPT幻灯片36、40):不看反馈口的正负,把闭环特征方程老实整理成上面的标准形式(各因式首项系数为 1、\(K\) 提在最前),看右端是 \(+1\) 还是 \(-1\)。 PPT原文:"也不是根据主反馈口的极性来绘制根轨迹。区别 0° 和 180° 根轨迹的关键在于根轨迹方程。" - 据考点分析 26北方工业大学专业课考点分析_p005.md 第20行,这条是明确重点:"还有一定要掌握好如何判断根轨迹是 0° 还是 180°"。

【你可能会以为】0° 根轨迹是偏门,不太考。 但其实老师明确说现在考研出题"越来越趋向于绘制 0° 根轨迹";据考点分析 26北方工业大学专业课考点分析_p002.md 第41行引述的考试大纲,第四章要求含"了解正反馈系统根轨迹和零度根轨迹的绘制方法"(该短语在原件上被高亮标注)。 因为180° 太套路化,出题人要区分度就往 0° 和参数根轨迹上走。

2.2 0° 根轨迹的来源(据PPT第4章幻灯片39)

只有两个来源: 1. 非最小相位系统中,\(s\) 的最高次幂项系数为负的因子; 2. 控制系统中包含正反馈的内回路。

PPT幻灯片39另有一条易被忽略的说法:\(K^*\) 从 \(0\to+\infty\) 变化画的是 180° 根轨迹,\(K^*\) 从 \(0\to-\infty\) 变化画的是 0° 根轨迹。也就是说,"负增益"和"正反馈"在数学上是同一件事。 另据幻灯片31:正反馈系统的根轨迹方程为 \(G(s)H(s)=+1\),相角为 \(0°\pm2k\pi\),故称 0° 根轨迹。

2.3 参数根轨迹:换参变量,靠"等效开环传递函数"回到老路

问题:若题目要变的不是 \(K^*\),而是某个时间常数、某个零极点位置,九条法则全是围绕 \(K^*\) 写的,直接用不了。

解法(据PPT幻灯片41-42),三步: 1. 写出闭环特征方程 \(D(s)=1+G(s)H(s)=0\); 2. 用"不包含可变参数的各项之和"去除整个方程,变形成 $\(1+A\frac{P(s)}{Q(s)}=0\)$ 其中 \(A\) 是那个可变参数,\(P(s)\)、\(Q(s)\) 是与 \(A\) 无关、首项系数为 1 的多项式; 3. 于是 \(A\dfrac{P(s)}{Q(s)}\) 就是等效开环传递函数,\(A\) 站到了原来 \(K^*\) 的位置上。此后画法与 180°/0° 完全相同。

PPT明写两条要求:(1) 可变参数必须是乘积因子(乘在某项上,不能是 \(\alpha^2\) 或藏在别处);(2) 化成零、极点形式。

PPT幻灯片44的完整例子,值得抄一遍: 开环 \(G(s)H(s)=\dfrac{5(1+\alpha s)}{s(5s+1)}=\dfrac{1+\alpha s}{s(s+0.2)}\), 闭环特征方程 \(D(s)=s^2+0.2s+1+\alpha s=0\)。 用不含 \(\alpha\) 的部分 \(s^2+0.2s+1\) 去除: $\(1+\frac{\alpha s}{s^2+0.2s+1}=0\quad\Longrightarrow\quad G^*(s)H^*(s)=\frac{s}{s^2+0.2s+1}\)$ 这就是等效开环传递函数:等效"零点"是 \(s=0\),等效"极点"是 \(s^2+0.2s+1=0\) 的两个根。

【难点】"等效"到底等效在什么地方? - 难在哪:学生容易以为等效开环传递函数和原系统的开环传递函数是同一个东西,于是拿它去算别的量(开环增益、稳态误差),全错。 - 正确理解:据PPT幻灯片42原文,等效开环传递函数的含义在于"在'闭环极点'相同这一点上成立"。它只保证特征方程的根一样,别的什么都不保证。它是为画图临时造的数学替身,不是真实的开环模型。 - 据考点分析 26北方工业大学专业课考点分析_p005.md 第21行:"根轨迹参数:考的很多,一般作为第二问出现";p002.md 第41行引述的大纲把"参量根轨迹"列为掌握级并高亮(高亮说明见 p002.md 第8行 annotations)。这块是硬考点。

3. 九条绘制法则(按PPT编号,配大白话)

老师说"主要有九条,要牢牢掌握"。PPT第4章 4.2 节确实给出法则1~法则9,下面逐条讲"在说什么/为什么/怎么用"。这里只讲法则本身,画图手感在第08、09讲例题里练。

【编号提示·别以为自己看错了】PPT讲 0° 根轨迹的幻灯片32,把要修改的两条编成"法则4:实轴上的根轨迹""法则5:根轨迹的渐近线",而 4.2 节常规部分这两条是法则3、法则4——编号错开了一位(幻灯片33 的"法则6 起始角与终止角"倒是与常规一致)。本笔记全篇统一按 4.2 节的常规编号称呼,你对照幻灯片32 时会发现编号对不上,这是PPT自身前后编号不一致,不是你数错了——认内容,别认编号。

法则1:起点与终点。 根轨迹起于开环极点,终止于开环零点。设有 \(n\) 个开环极点、\(m\) 个开环有限零点:若 \(n>m\),有 \(n-m\) 条根轨迹趋向无穷远处;若 \(m>n\),有 \(m-n\) 条来自无穷远处。 - 为什么:由幅值条件看,\(K^*\to0\) 要求分母趋零即 \(s\to p_j\)(起点是极点);\(K^*\to\infty\) 要求分子趋零即 \(s\to z_i\)(终点是零点)。 - 【补前置】"无穷远零点":有限零点不够用时,数学上把多出来的那几条算作终止于"无穷远处的零点"。这只是记账方式,平面上并不真有那个点。

法则2:分支数与对称性。 分支数 \(=\max\{m,n\}\);根轨迹是连续的,且关于实轴对称。 - 为什么对称:实系数多项式的根要么是实根,要么成共轭复根对(\(\sigma\pm j\omega\)),共轭对在平面上就是关于实轴的镜像。 - 【补前置】共轭复数:\(a+jb\) 与 \(a-jb\) 互为共轭,实部相同、虚部相反。物理系统的参数都是实数,所以复根必然成对出现——这条在整章反复被用到。

法则3:实轴上的根轨迹。 实轴上某段存在根轨迹的条件是:其右端实轴上的开环零、极点数目之和为奇数(PPT注:可由相角方程证明)。 - 怎么用:把实轴上所有零极点从右往左排,从最右往左数,右侧零极点总数为奇数的区间就是根轨迹段。老师的例子:某段右侧有 3 个(奇)→ 是;更左的某段右侧有 5 个(奇)→ 也是。 - 0° 根轨迹时改为"偶数"(据PPT幻灯片32)。老师点名的坑:最右边那个极点右侧的区间,右侧零极点数目是 0,而 0 是偶数,所以画 0° 根轨迹时这一段也是根轨迹——这一段学生最常漏。

法则4:渐近线。 当 \(n>m\) 时,有 \(n-m\) 条根轨迹沿渐近线趋于无穷远。据PPT幻灯片15: $\(\theta_k=\frac{(2k+1)\pi}{n-m},\quad k=0,1,\dots,n-m-1\)$ $\(\sigma_a=\frac{\sum_{j=1}^{n}p_j-\sum_{i=1}^{m}z_i}{n-m}\)$ - 在说什么:\(\theta_k\) 是渐近线与实轴的夹角;\(\sigma_a\) 是这组渐近线与实轴的交点(所有渐近线都从这一点发散出去)。 - 符号:\(\sum p_j\) 是全部开环极点值(带正负号)相加,\(\sum z_i\) 同理;\(n-m\) 是"极点比零点多几个",也就是渐近线条数。 - PPT幻灯片16的四条补充:\(\sigma_a\) 必在实轴上,只与 \(n,m,p_j,z_i\) 有关;\(\theta_k\) 只与 \(n-m\) 有关;渐近线以 \(\sigma_a\) 为中心等分平面,相邻夹角 \(360°/(n-m)\);\(n>m\) 时极点沿渐近线趋于无穷远,\(m>n\) 时从无穷远沿渐近线而来,\(n=m\) 时没有渐近线。 - 0° 根轨迹时改为 \(\theta_k=\dfrac{2k\pi}{n-m}\)(据PPT幻灯片32);交点公式 \(\sigma_a\) 不变。 - 【存疑·待核】字幕里出现"正负的 \((2k+1)\pi\)""正负的 \(2k\pi\)"的口头说法,PPT写的是不带正负号的形式。二者在 \(k\) 取遍取值范围时给出的角度集合相同,答题按PPT写法。

法则5:分离点与汇合点。 据PPT幻灯片19,分离点 \(d\) 由下式求: $\(\sum_{i=1}^{m}\frac{1}{d-z_i}=\sum_{j=1}^{n}\frac{1}{d-p_j}\qquad\text{或}\qquad \frac{dK^*}{ds}=0\)$ - 在说什么:两条根轨迹在实轴上相遇后拐进复平面,那个点叫分离点;反过来从复平面回到实轴的点叫汇合点。 - 符号:\(d\) 是该点坐标(实数)。

【难点·台阶补齐】第二式里的 \(K^*\) 是 \(s\) 的什么函数?从哪来?(PPT幻灯片4 把"分离点的求法"列为本章两大难点之一,这一步不补,这条法则零基础根本没法执行。) - 第一步,\(K^*\) 其实是 \(s\) 的函数。从闭环特征方程出发: $\(1+G(s)H(s)=0\ \Longrightarrow\ 1+\frac{K^*\prod_{i=1}^{m}(s-z_i)}{\prod_{j=1}^{n}(s-p_j)}=0\ \Longrightarrow\ K^*(s)=-\frac{\prod_{j=1}^{n}(s-p_j)}{\prod_{i=1}^{m}(s-z_i)}\)$ 读法:根轨迹上每一个点 \(s\),都唯一对应一个 \(K^*\) 值(这正是幅值条件说的事)。把这个对应关系写成显式的函数 \(K^*(s)\),就可以对 \(s\) 求导了。没有零点时(\(m=0\))分母那个连乘取 1,即 \(K^*(s)=-\prod(s-p_j)\)。 - 第二步,【补前置】导数 \(\dfrac{dK^*}{ds}\) 就是"\(s\) 挪一点点,\(K^*\) 跟着变多少"的变化率;函数在极大/极小值处导数为零。 - 第三步,为什么令导数为零就是分离点:把注意力限制在实轴的一段根轨迹上。\(K^*\) 从这段两端(开环极点处 \(K^*=0\))出发沿实轴增大,两支根轨迹相向而行;它们碰头后就没法继续留在实轴上,只能拐进复平面。碰头那一刻,\(K^*\) 沿实轴走到了极大值(汇合点情形则是极小值),所以恰好 \(\dfrac{dK^*}{ds}=0\)。 - 最小算例:\(G(s)H(s)=\dfrac{K^*}{s(s+1)}\),\(n=2,m=0\),极点 \(0,-1\)。 $\(K^*(s)=-s(s+1)=-s^2-s,\qquad \frac{dK^*}{ds}=-2s-1=0\ \Longrightarrow\ d=-0.5\)$ 验证:\(-0.5\) 落在两个实极点 \(0\) 与 \(-1\) 之间,右侧零极点数为 1(奇数),确实是 180° 根轨迹段 → 保留。代回得该点 \(K^*=-(-0.5)(0.5)=0.25\),为正,合理。 - 也可以用第一式(倒数和式)算同一题:\(m=0\) 时左边为 0,右边 \(\dfrac{1}{d-0}+\dfrac{1}{d+1}=0\) → \(2d+1=0\) → \(d=-0.5\),同样答案。两式等价,考场上挑好算的那个。 - PPT明确警告:求出分离点后必须验证它是否在根轨迹上,不是就舍去(方程会解出多余的根)。这是丢分重灾区。 - PPT幻灯片20的三条经验:(1) 分离点或在实轴上,或以共轭形式成对出现在复平面(有复数分离点的系统至少 4 阶);(2) 若一个零点与一个极点之间有根轨迹,则其间必无分离点;(3) 若两个极点之间有根轨迹,其间必有分离点;两个零点之间有根轨迹,其间必有汇合点。 - 据考点分析 26北方工业大学专业课考点分析_p005.md 第20行:"现在不能使用计算器了,建议大家去学一学如果快速的去求分离汇合点,这个地方也可以会加难度"(原文如此,"如果"应为"如何")。

法则6:起始角(出射角)与终止角(入射角)。 据PPT幻灯片22-23: $\(\theta_{p_i}=(2k+1)\pi+\Big[\sum_{j=1}^{m}\angle(p_i-z_j)-\sum_{\substack{j=1\\ j\neq i}}^{n}\angle(p_i-p_j)\Big]\)$ $\(\theta_{z_i}=(2k+1)\pi-\Big[\sum_{\substack{j=1\\ j\neq i}}^{m}\angle(z_i-z_j)-\sum_{j=1}^{n}\angle(z_i-p_j)\Big]\)$ - 在说什么:根轨迹离开一个复数极点那一瞬间的切线方向角,叫起始角;进入一个复数零点时的方向角,叫终止角。 - 符号:\(\angle(p_i-z_j)\) 表示从零点 \(z_j\) 看向极点 \(p_i\) 的方向角;求和中 \(j\neq i\) 表示"排除它自己"。 - 为什么需要:复数极点是孤零零一个点,不像实轴段有区间可循,必须知道"往哪个方向出发"才能起笔。所以只对复数零极点用,实数零极点不需要。 - 0° 根轨迹时把 \((2k+1)\pi\) 换成 \(2k\pi\)(PPT幻灯片33给出的是等价写法)。 - 【存疑·待核】各教材对这两式括号内正负号的排列写法有出入。以PPT上式为准;更稳妥的做法是回到相角条件现推:在待求复数极点旁边取一个非常近的点,令总相角等于 \(180°\)(0° 根轨迹则为 \(0°\)),解出那个未知角。这样不依赖背公式,考场上更保险。

法则7:根轨迹与虚轴的交点。 据PPT幻灯片25-26,两种方法: 1. 劳斯判据法:系统特征方程有纯虚根时,劳斯表某一行元素全为零,纯虚根由该行的上一行元素构成的辅助方程求出。 2. 代入法:令 \(s=j\omega\) 代入特征方程 \(D(s)=0\),得 \(D(j\omega)=0\),再令实部为零、虚部为零,联立解出交点 \(\omega\) 与临界稳定时的开环根增益 \(K^*\)。 - 【补前置】劳斯判据是第3章工具:把特征方程系数排成表,第一列符号变化次数 = 右半平面根的个数。这里只借用它"某行全零 ⇔ 存在纯虚根"这条性质。 - 【补前置】辅助方程怎么构造:劳斯表算到某一行元素全为零时,就用它上面那一行的元素当系数,按该行对应的 \(s\) 的幂次隔一次降幂写成一个偶次多项式,令其等于零。例如上一行对应 \(s^2\)、元素依次是 \(a,b\),则辅助方程为 \(as^2+b=0\);上一行对应 \(s^4\)、元素 \(a,b,c\),则为 \(as^4+bs^2+c=0\)。解这个方程就得到那对纯虚根 \(s=\pm j\omega\),\(\omega\) 即根轨迹与虚轴的交点纵坐标。(全零行本身用辅助方程求导后的系数替换,再把劳斯表继续填完。) - 为什么这条最值钱:虚轴是稳与不稳的分界线,交点对应的增益就是临界增益,系统的稳定范围由它给出。 - 【难点·别答错的量】这里直接解出来的是根轨迹增益 \(K^*\)(因为特征方程是按零极点形式写的)。若题目问的是开环增益 \(K\) 的范围,必须按 0.1.1 的换算式再折算一次;若题目本身就是用典型环节形式给的 \(G(s)\),那解出来的就是 \(K\),不用折算。据考点分析 26北方工业大学专业课考点分析_p001.md 第44-50行"七类计算题"中列出的 2025 年真题大题类型,第 3 条正是"根轨迹分析:根轨迹的绘制以及求稳定K的范围"——真题原话写的就是 \(K\),所以这一步折算是真金白银的分。

法则8:根之和。 据PPT幻灯片27,当 \(n-m\ge2\) 时, $\(\sum_{i=1}^{n}s_i=\sum_{i=1}^{n}p_i\)$ - 在说什么:闭环 \(n\) 个特征根之和,恒等于开环 \(n\) 个极点之和,与 \(K^*\) 无关。 - 怎么用:判断走向。\(K^*\) 增大时,若某些闭环极点向左移动,则另一些必然向右移动(总和是常数)。这解释了"为什么加大增益总要付出代价"——不可能让所有极点同时变好。

法则9:闭环极点的和与积。 据PPT幻灯片28,设 \(D(s)=s^n+a_1s^{n-1}+a_2s^{n-2}+\cdots+a_n=0\),则 $\(\sum_{i=1}^{n}s_i=-a_1,\qquad \prod_{i=1}^{n}s_i=(-1)^n a_n\)$ - 在说什么:这是韦达定理(根与系数的关系)的一般形式:根之和 \(=-\)(次高次项系数);根之积乘以 \((-1)^n\) 等于常数项。PPT另注:若 \(n-m\ge2\),则根之和与开环根增益无关。 - 怎么用:已知部分闭环极点(比如从图上定出的一对主导极点),用它反解剩下那个极点,不必解高次方程。高阶题里非常省时。

【难点】九条法则里,哪几条在 0° 根轨迹下要改? 只有三条,而且原因统一:0° 与 180° 的幅值条件完全相同,差别只出在相角条件上,所以只有"由相角条件推出来的那几条"要改: 1. 法则3 实轴上的根轨迹:奇数 → 偶数; 2. 法则4 渐近线倾角:\((2k+1)\pi/(n-m)\) → \(2k\pi/(n-m)\); 3. 法则6 起始角/终止角:\((2k+1)\pi\) → \(2k\pi\)。 其余各条(分支数与对称性、起点终点、分离点、虚轴交点、根之和、根之积)一字不改。 把"为什么只有三条"想通,比背这三条本身重要得多——想通了就永远不会记混。

3.1 该有条件反射的典型图形

老师强调有些图形要"看到零极点分布就反应出来": - 二阶系统(两个开环极点)带一个开环有限零点:一条根轨迹终止于该有限零点,另一条终止于无穷远;复平面部分通常是一段圆弧。 - 二阶系统带两个开环零点(如一对复数极点配一对复数零点):复平面部分通常呈圆或两段小圆弧。 - 两个相邻实极点之间必有分离点、两个相邻实零点之间必有汇合点,这种配置画出来的复平面部分通常是一个圆。 - 据考点分析 26北方工业大学专业课考点分析_p005.md 第20行:"有一个重点,如何判断根轨迹是圆,这个也是个固定题型,没有太多技巧"。证明首选相角条件(避开 \(K^*\))。 - 【存疑·待核】"通常是圆或圆弧"是老师的定性经验;严格说,"两个极点 + 一个有限零点"型系统的复平面根轨迹是以该有限零点为圆心的圆(弧),这要用相角条件推导才成立,并非所有带零点的系统都是圆。考场上遇到"证明是圆",老实用相角条件推,不要直接引用"通常"。

3.2 画图的标准流程(老师给的思路,整理成步骤)

1. 由系统结构图求出闭环特征方程(必要时用梅森公式——【补前置】梅森公式是第2章从信号流图直接写出传递函数的公式;字幕把它误识成"梅寻"(转录中出现 1 次),以教材"梅森"为准)。
2. 若参变量不是 \(K^*\)/\(K\),做变形找等效开环传递函数,把参变量独立成乘积因子。
3. 整理成标准形式,看右端是 \(-1\) 还是 \(+1\),判定 180° 还是 0°。
4. 标出开环零极点,数出 \(n\)、\(m\)。
5. 按法则1~3 定起终点、分支数、实轴段。
6. 若 \(n-m\ge1\),算渐近线(\(\theta_k\)、\(\sigma_a\))。
7. 按需算分离/汇合点、起始/终止角、与虚轴的交点及临界 \(K^*\)。
8. 连线成图,随时用对称性自检。
9. 老师另提醒:三阶以上系统不要试图解特征方程再描点,那条路极其麻烦,一律用法则画。

4. 画完之后:用根轨迹分析系统(4.4节)

据考点分析 26北方工业大学专业课考点分析_p005.md 第20行,根轨迹"近几年根轨迹的第二问都会结合振荡、阻尼那块的知识点去求参,考的比较综合"。所以画图只是第一问,第二问才是分数大头。

4.1 定性分析:稳、快、平稳(注意第三点是平稳性,不是稳态误差)

(1) 稳定性 判据极简:所有根轨迹分支是否全部落在 s 左半平面。 - 全在左半平面 → 不论参变量怎么变,系统恒稳定。 - 与虚轴相交 → 该点临界稳定,系统做等幅振荡;对应的 \(K^*\) 就是临界增益。 - 穿过虚轴进入右半平面 → 不稳定,响应是指数发散的振荡。 - 典型考法:求"使系统稳定的 \(K\) 取值范围"——即用法则7 求虚轴交点对应的根轨迹增益 \(K^*\),取交点以内的区间;若题干问的是开环增益 \(K\),再按 0.1.1 的换算式 \(K=K^*\prod|z_i|/\prod|p_j|\) 折算一次。这两个量不是一回事,别写完 \(K^*\) 就直接标成 \(K\)。

(2) 快速性 判据:主导极点离虚轴越远(即 \(|\sigma|\) 越大),响应衰减越快,快速性越好。 - 为什么:回到 \(e^{\sigma t}\),\(|\sigma|\) 越大掉得越快。 - 怎么改善(老师给了两个手段):把闭环极点整体往左推;以及利用偶极子——如果有一个远离虚轴的极点碍事,可以在它附近加一个零点构成偶极子,让这一对相互抵消。 - 【你可能会以为】偶极子是"加个零点把极点删掉了"。但其实极点还在,只是它对应的响应分量系数变得极小,几乎不起作用。因为零点影响的是各分量的系数(即 0.2 节说的 \(A,B\),数学上叫留数——就是"这一段运动在总输出里占多大分量"),并不改变极点位置。这个区别在第5、6章校正里还会用。

(3) 平稳性(相对平稳性)——阻尼角 第3章结论:欠阻尼二阶系统的超调量 $\(\sigma\%=e^{-\zeta\pi/\sqrt{1-\zeta^2}}\times100\%\)$ - 在说什么:超调量 \(\sigma\%\)(输出冲过稳态值的百分比)只由阻尼比 \(\zeta\) 决定,与自然频率 \(\omega_n\) 无关(\(\omega_n\) = 共轭极点到原点的距离,管"整体快慢"的时间尺度,不管"冲过头多少个百分点")。 - 【易混】这里的 \(\sigma\%\) 是超调量,与 0.2 节起表示极点实部的 \(\sigma\) 只是共用了同一个希腊字母,毫无关系。看有没有百分号 \(\%\) 来区分。 - 方向:\(\zeta\) 越小 → 超调量越大 → 越不平稳;\(\zeta\) 越大 → 超调量越小 → 越平稳。 - 【难点·口误纠正】转录中老师先说了一句"阻尼比越小,超调量也就越小",随后自己纠正为"阻尼比越小超调量应该越大,它们两个是成反比的"。正确的是后者。零基础听录音时极易被前半句带偏,这里明确标出。

阻尼角 \(\beta\):一对共轭主导极点与坐标原点的连线,与负实轴之间的夹角,记作 \(\beta\)。关系是 $\(\cos\beta=\zeta\)$ - 在说什么:主导极点在平面上的"张角"可直接换算成阻尼比。 - 它是怎么来的(三行推出来,不要背): 1. 欠阻尼二阶系统的一对闭环极点是 \(s=-\zeta\omega_n\pm j\,\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}\)(第3章结论,由 \(s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2=0\) 解出)。 2. 它到原点的距离 \(=\sqrt{(\zeta\omega_n)^2+\big(\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}\big)^2}=\omega_n\sqrt{\zeta^2+1-\zeta^2}=\omega_n\)。恰好就是 \(\omega_n\)——这也是"\(\omega_n\) = 极点到原点距离"这句话的出处。 3. 它的实部大小(到虚轴的距离)\(=\zeta\omega_n\),方向朝负实轴。于是这条连线与负实轴夹角 \(\beta\) 的余弦 \(=\dfrac{\text{邻边}}{\text{斜边}}=\dfrac{\zeta\omega_n}{\omega_n}=\zeta\)。 结论:\(\cos\beta=\zeta\)。\(\omega_n\) 被约掉了,所以阻尼角只看方向、不看远近——这正对应"超调量只由 \(\zeta\) 决定、与 \(\omega_n\) 无关"。 - 怎么用(最高频考法): - \(\beta\) 越小 → \(\cos\beta\) 越大 → \(\zeta\) 越大 → 超调越小 → 相对平稳性越好。 - \(\beta=45°\) → \(\zeta=\cos45°\approx0.707\),即最佳阻尼比(兼顾快速性与平稳性)。 - \(\zeta=0.5\) → \(\beta=60°\);且 \(\zeta=0.5\) 对应超调量约 \(16.3\%\)(第3章要求记住的数)。 - 【补前置】\(\cos\) 在 \(0°\sim90°\) 上单调递减:角度越大余弦值越小。老师说"\(\cos\beta\) 是单调递减函数"指的就是这个区间。 - 【难点】\(\beta\) 是从负实轴量起的,不是从正实轴。理由就在上面的推导里:被约出来的邻边是 \(\zeta\omega_n\),那是极点实部的大小,而实部是负的(\(-\zeta\omega_n\)),所以这条邻边指向负实轴一侧;从正实轴量得到的是 \(180°-\beta\),余弦刚好差一个负号,\(\zeta\) 就成了负数(物理上不存在)。量错了 \(\zeta\) 就整个错。自检方法:主导极点靠近负实轴时,系统应当阻尼大、振荡小,此时 \(\beta\) 应该小、\(\zeta\) 应该接近 1——用这个物理常识验一下自己有没有量反。 - 若主导极点是单个实数极点(不是共轭对),高阶系统等效为一阶系统;一阶系统的单位阶跃响应单调上升、没有超调,所以不讨论其相对平稳性。

4.2 定量计算:两类题型

题型A:已知参数 → 求闭环极点 → 求性能指标 给了 \(K^*\) 或 \(K\),在根轨迹上找到对应点(用幅值条件),得到闭环极点;若可近似为二阶,再套二阶系统的指标公式(超调量 \(\sigma\%\)、调节时间 \(t_s\)(输出进入并保持在稳态值 ±5% 或 ±2% 误差带所需的时间,衡量"多久稳下来")、峰值时间 \(t_p\)(输出第一次冲到最高点的时刻)等),甚至写出特定输入下的响应表达式。

题型B:已知性能要求 → 求闭环极点 → 反求参数(老师说"现在考研中非常频繁出现") - 告诉你 \(\zeta=0.707\)(或说"最佳阻尼比")→ 得 \(\beta=45°\); - 或告诉你 \(\zeta=0.5\)、或告诉你 \(\sigma\%=16.3\%\) → 得 \(\zeta=0.5\) → \(\beta=60°\); - 过坐标原点、与负实轴成 \(\beta\) 角作一条射线,这条射线与根轨迹的交点就是所求的闭环主导极点; - 再用幅值条件(或把该点代回特征方程)求出对应的 \(K^*\)/\(K\)。

【难点】这类题有个常被忽略的隐含前提:必须先确认"能用主导极点近似"(其余极点到虚轴的距离 > 主导极点的 5 倍),否则把高阶当二阶算,指标公式根本不成立。另据考点分析 26北方工业大学专业课考点分析_p005.md 第16行(第3条"二阶系统的时域分析")的提醒,二阶系统四个指标公式的使用还有两个前提:阶跃输入(不必是单位阶跃)且欠阻尼。把这些前提在答卷上写出来,是满分与被扣分的区别。

5. 这一讲的骨架

带走这七句: 1. 根轨迹 = 开环某参数从 0 变到 \(\infty\) 时,闭环特征根在 s 平面上走出的轨迹;坐标是实部与虚部,不是时间。 2. 立足点是 \(1+G(s)H(s)=0\),即 \(G(s)H(s)=-1\);拆成幅值条件(算参数)与相角条件(判定与画图,是充要条件)。 3. 判 180° 还是 0°,看根轨迹方程整理后右端是 \(-1\) 还是 \(+1\),不看反馈口极性。 4. 参数根轨迹靠等效开环传递函数归约到 180°/0°;等效只在"闭环极点相同"这一点上成立。 5. 九条法则要背,但 0° 与 180° 只差三条(实轴段奇/偶、渐近线倾角、起始终止角),因为差别只来自相角条件。 6. 分析用三把尺:稳(是否全在左半平面 / 虚轴交点定临界的根轨迹增益 \(K^*\),题目问开环增益 \(K\) 时按 0.1.1 换算)、快(主导极点离虚轴越远越快;偶极子可消掉碍事的极点)、平稳(阻尼角 \(\beta\),\(\cos\beta=\zeta\),\(\beta\) 越小越平稳;\(45°\leftrightarrow0.707\),\(60°\leftrightarrow0.5\leftrightarrow16.3\%\))。 7. 定量题主通路:性能要求 → \(\zeta\) → \(\beta\) → 作射线交根轨迹 → 闭环主导极点 → 幅值条件 → 参数;或反向走。

掌握难度诚实提示:这一讲第一遍看不懂很正常。最常见三个卡点:(a) 没打通"极点位置 ↔ \(e^{\sigma t}\) ↔ 性能"这条链子,于是所有结论像天书;(b) 分不清开环零极点(已知,用来画图)与闭环极点(未知,是画出来的结果)——这是最致命的混淆;(c) 相角条件里的角到底从哪量到哪。这三点没过,建议回头重读第 0、1 节,别硬往下推。

6. 自测(戳穿假懂版)

Q1. 开环传递函数 \(G(s)H(s)=\dfrac{K^*}{s(s+1)(s+2)}\)。不查表回答:根轨迹有几条分支?起点在哪?几条趋于无穷远?渐近线与实轴交点 \(\sigma_a\) 是多少?

答案要点:\(n=3,m=0\);分支数 \(\max\{3,0\}=3\);起点是三个开环极点 \(0,-1,-2\);\(n-m=3\) 条趋于无穷远;\(\sigma_a=\dfrac{0+(-1)+(-2)-0}{3}=-1\)。 答错说明你卡在:要么没记住"起于极点、终于零点",要么把 \(\sum p_j\) 的正负号搞反(极点是 \(-1\) 就代 \(-1\),不是代 \(1\))。

Q2. 某系统主回路是负反馈,但开环传递函数含因子 \((1-0.5s)\)。同学甲说"负反馈,当然画 180° 根轨迹"。他错在哪?正确判断步骤是什么?

答案要点:\((1-0.5s)\) 是非最小相位环节(零点 \(s=+2\) 在右半平面)。正确做法是把闭环特征方程整理成 \(K\dfrac{\prod(s-z_i)}{\prod(s-p_j)}=\mp1\) 的标准形式(各因式首项系数为正 1),看右端符号;此处提出负号后右端为 \(+1\),应画 0° 根轨迹。判据是根轨迹方程的符号,不是反馈口的极性。 答错说明你卡在:把"反馈极性"当成判据,这是本讲点名的头号陷阱。

Q3. 画 0° 根轨迹时,某同学"右侧零极点数为偶数"这条用对了,却漏画了最右边那个开环极点右侧一直到 \(+\infty\) 的那一段。他为什么漏?这段到底算不算?

答案要点:算。那段右侧的零极点个数是 0,而 0 是偶数,满足 0° 根轨迹的实轴条件。漏画是因为心理上不把"0 个"当成一个数去判断奇偶。 答错说明你卡在:规则背下来了,但没真当成"数数"去执行。

Q4. 某三阶系统求得一对闭环主导极点在 \(-1\pm j1\),题目说"取最佳阻尼比"。(a) 验证这对极点是否符合;(b) 若第三个闭环极点在 \(-1.2\),主导极点近似还能用吗?

答案要点:(a) \(\beta\) 是极点与原点连线和负实轴的夹角,由 \(\tan\beta=1/1\) 得 \(\beta=45°\),\(\zeta=\cos45°\approx0.707\),符合最佳阻尼比。(b) 不能。主导极点到虚轴距离为 1,第三个极点为 1.2,只有 1.2 倍,远达不到 5 倍以上,不能降阶为二阶,二阶指标公式不可用。 答错说明你卡在:只会套 \(\cos\beta=\zeta\),没记住主导极点近似有前提——这正是大题的扣分点。

Q5. 有人说:"证明复平面上的根轨迹是圆,用幅值条件也能证,所以两个条件没区别。" 怎么反驳?

答案要点:幅值条件含未知的 \(K^*\),证明中要额外把它消掉,推导更繁;相角条件不含 \(K^*\),是纯粹的位置条件,可直接得到几何关系。更根本的是:相角条件是"在不在轨迹上"的充要条件,而幅值条件对平面上任何点都能解出一个 \(K^*\),本身不构成筛选。 答错说明你卡在:没理解"为什么相角条件才是充要条件"。

Q6. \(K^*\) 增大时,某三阶系统的一对复数闭环极点明显向左移动。第三个实极点会怎么动?依据是什么?

答案要点:必然向右移动。依据法则8(根之和):\(n-m\ge2\) 时闭环极点之和恒等于开环极点之和、与 \(K^*\) 无关,总和不变,一部分左移则另一部分必右移。 答错说明你卡在:法则8只当公式背了,没理解它是"守恒式"的走向判据。

Q7. 已知某系统闭环特征方程为 \(s^2+0.2s+1+\alpha s=0\),要以 \(\alpha\) 为参变量画根轨迹。写出等效开环传递函数,并说明它"等效"在什么意义上。

答案要点:用不含 \(\alpha\) 的部分 \(s^2+0.2s+1\) 除方程,得 \(1+\dfrac{\alpha s}{s^2+0.2s+1}=0\),故等效开环传递函数为 \(\dfrac{s}{s^2+0.2s+1}\)(乘参数 \(\alpha\))。它只在"闭环极点相同"这一点上与原系统等效,不能拿去算开环增益、稳态误差等其它量。 答错说明你卡在:等效变换的机械步骤会做,但没搞清它的适用边界——这正是"答非所问"失分的来源。

Q8. 已知开环传递函数 \(G(s)=\dfrac{K^*(s+3)}{(s+1)(s+5)}\)。(a) 求开环增益 \(K\) 与 \(K^*\) 的关系;(b) 若由虚轴交点算出临界的 \(K^*=20\),题目问"使系统稳定的开环增益 \(K\) 的范围",该怎么答?

答案要点:(a) 把它化成典型环节形式:\(G(s)=\dfrac{K^*\cdot 3(\frac{s}{3}+1)}{1\cdot 5(s+1)(\frac{s}{5}+1)}=\dfrac{\frac{3K^*}{5}(\frac{1}{3}s+1)}{(s+1)(\frac{1}{5}s+1)}\),故 \(K=\dfrac{3K^*}{5}=0.6K^*\)。用 0.1.1 的公式核对:\(K=K^*\dfrac{|z_1|}{|p_1||p_2|}=K^*\dfrac{3}{1\times5}=0.6K^*\),一致。 (b) 稳定要求 \(0<K^*<20\),换算成开环增益即 \(0<K<12\)。直接答"\(0<K<20\)"就是把 \(K\) 与 \(K^*\) 当成一个量,是本章头号送分陷阱。 答错说明你卡在:从没意识到"增益"有两个,或者知道有两个却不会换算。回 0.1.1 重读。

Q9. 开环传递函数 \(G(s)H(s)=\dfrac{K^*}{s(s+2)}\)。求分离点 \(d\),并验证它在不在根轨迹上;顺便求出该点对应的 \(K^*\)。

答案要点:\(n=2,m=0\),极点 \(0,-2\)。由特征方程 \(1+\dfrac{K^*}{s(s+2)}=0\) 解出 \(K^*(s)=-s(s+2)=-s^2-2s\);令 \(\dfrac{dK^*}{ds}=-2s-2=0\) 得 \(d=-1\)。 验证(PPT明确要求,不写要扣分):\(-1\) 落在区间 \((-2,0)\),该区间右侧的开环零极点只有 \(s=0\) 一个,数目 1 为奇数,满足 180° 根轨迹的实轴条件 → \(d=-1\) 确实在根轨迹上,保留。(另可用法则5 经验(3) 佐证:两个实极点之间有根轨迹,其间必有分离点。) 该点的 \(K^*=-(-1)(-1+2)=1\),为正,合理(若算出负值说明该点不在 180° 根轨迹上,应舍去)。 答错说明你卡在:(a) 不知道 \(K^*\) 是 \(s\) 的函数、无从下手求导——回法则5 的"台阶补齐";(b) 求出 \(d\) 就完事、不验根——高次方程会解出多余的根,不验证迟早吃亏。

知识地图

向前串(这一章踩在什么上面) - 第2章:传递函数、零极点形式与典型环节形式、结构图化简 / 梅森公式求闭环传递函数 → 没有它就写不出闭环特征方程,根轨迹无从谈起。 - 第3章:极点位置 ↔ \(e^{\sigma t}\) 型响应分量 ↔ 稳定性;二阶系统 \(\zeta\)、\(\omega_n\) 与超调量、调节时间;主导极点与高阶降阶;劳斯判据(法则7 求虚轴交点要用)。本讲 4.1、4.4 基本上是第3章结论的"几何化"。

横向串(本章内部) - 根轨迹方程 → 拆成幅值条件(定量算参数)+ 相角条件(定性判定与画图),分工明确、互补。 - 180° 根轨迹 ← 标准情形;0° 根轨迹 ← 正反馈内回路 / 非最小相位因子,只改三条与相角有关的法则;参数根轨迹 ← 换参变量,用等效开环传递函数归约回前两者。三者是"一个方法 + 两种变形",不是三套独立体系。 - 画图(4.2) → 分析(4.4):稳 → 看是否越过虚轴;快 → 看主导极点离虚轴多远;平稳 → 看阻尼角 \(\beta\)。

向后串(后面怎么用) - 第5章频域分析:同样是"用开环信息判闭环性能",奈奎斯特判据与根轨迹是同一思想的两种投影;阻尼比与相角裕度的经验关系也源出于此(相角裕度是第5章的频域稳定裕度指标,粗略说就是"系统还能再承受多少相位滞后才会变得不稳定",越大越稳;这里只需知道它是个衡量"离不稳定还有多远"的量,具体定义第5章会讲)。 - 第6章校正:串联超前/滞后校正、PID,本质就是往系统里添零极点,把根轨迹掰成想要的形状。本讲的"偶极子消极点""加零点改善快速性"就是校正的雏形。 - 考试层面:据考点分析 26北方工业大学专业课考点分析_p001.md 第44-50行列出的七类计算题(2025 年真题大题类型),第 3 条即"根轨迹分析:根轨迹的绘制以及求稳定K的范围";p005.md 第20行指出根轨迹第二问近年"都会结合振荡、阻尼那块的知识点去求参",即本讲 4.1/4.2 与第3章的交叉考法。

下一讲:第08讲进入例题,练主导极点判定、根轨迹是圆的判定、偶极子等具体题型;第09讲练零度根轨迹与参数根轨迹的实际绘制。这一讲的地图不熟,例题会看不懂在做什么——建议先能默述第5节那七句骨架,再进例题。