图 4-93 \(s^3+2.1s^2+6.2s+K=0\) 根轨迹图(MATLAB)及 \(K=4.4\) 时的闭环根信息
图 4-94 \(s^5+4s^5+4s^3+s^2+2s+K=0\) 根轨迹图(MATLAB)及 \(K=1\) 时的闭环根信息
4-30
设系统的特征方程为 \(s^3+as^2+Ks+K=0\)，\(K\) 从 \(0\to+\infty\)，当 \(a\) 取不同值时，系统的根轨迹也不同。试分别确定使根轨迹具有一个、两个和没有实数分离点的 \(a\) 值范围，并作出根轨迹图。
解 由题可得
\[D(s)=s^3+as^2+Ks+K=0\]
则系统的开环传递函数为
\[G(s)=\frac{K(s+1)}{s^2(s+a)}\]
① 根轨迹的分支和起点与终点：由于 \(n=3,m=1,n-m=2\)，故根轨迹有三条分支，其起点分别为 \(p_1=0,p_2=0,p_3=-a\)，其终点分别为 \(z_1=-1\) 和无穷远处。
② 实轴上的根轨迹分布区：\([-a,-1]\)。
③ 根轨迹的渐近线：
\[\sigma_a=\frac{-a+1}{3-1}=\frac{1-a}{2},\quad \varphi_a=\pm\frac{\pi}{2}\]
④ 根轨迹的分离点：根轨迹的分离点坐标满足
\[\frac{1}{d}+\frac{1}{d}+\frac{1}{d+a}=\frac{1}{d+1}\]