MATLAB 程序：exe447.m
G=zpk([1],[-2 -2 -5],1); figure， rlocus(G)； axis([-10 5 -10 10])
hold on rlocus(G, 2)
4-48 概略绘制下述多项式的根轨迹图：\(D(s)=(s^2+2s+2)^2(s^2+2s+5)^2+K\)。
解 由题，\(D(s)=(s^2+2s+2)^2(s^2+2s+5)^2+K=0\)，可等价表示为
\[1+G(s)=0\]
其中等效开环传递函数
\[G(s)=\frac{K}{(s^2+2s+2)^2(s^2+2s+5)^2}=\frac{K}{(s+1\pm \mathrm{j})^2(s+1\pm \mathrm{j}2)^2}\]
① 根轨迹的渐近线：\(\sigma_a=-1\)，\(\varphi_a=\pm\dfrac{\pi}{8},\pm\dfrac{3\pi}{8},\pm\dfrac{5\pi}{8},\pm\dfrac{7\pi}{8}\)。
② 根轨迹与虚轴的交点：令 \(s=\mathrm{j}\omega\)，并将其代入闭环特征方程可得
\[[(\mathrm{j}\omega)^2+2(\mathrm{j}\omega)+2]^2[(\mathrm{j}\omega)^2+2(\mathrm{j}\omega)+5]^2+K=0\]
即
\[\begin{cases}\omega^8-38\omega^6+253\omega^4-416\omega^2+100+K=0\\-8\omega^7+116\omega^5-388\omega^3+280\omega=0\end{cases}\]
因 \(\omega \neq 0\)，由 MATLAB 求根命令可得交点坐标为
\[\omega=\pm 1，\quad K=100\]
\[\omega=\pm 1.87，\quad K=-264\quad(舍去)\]
\[\omega=\pm 3.16，\quad K=6800\]
可以画出概略根轨迹如图4-157所示。
仿真曲线如图4-158所示。
图 4-157 \(D(s)=(s^2+2s+2)^2(s^2+2s+5)^2+K=0\) 概略根轨迹图
·217·