\[
\begin{cases}
\ddot{c}+c=1, & c<-1 \text{ 及 } c<1 \text{ 且 } \dot{c}>0 \\
\ddot{c}+c=-1, & c>-1 \text{ 及 } c>1 \text{ 且 } \dot{c}<0
\end{cases}
\]
开关线为 \(c=\pm1\)。
对于 \(\ddot{c}+c=1\)，有
\[
\dot{c}\frac{\mathrm{d}\dot{c}}{\mathrm{d}c}=1-c
\]
\[
\dot{c}\,\mathrm{d}\dot{c}=(1-c)\mathrm{d}c
\]
积分得
\[
\frac{1}{2}\left[\dot{c}^2-\dot{c}^2(0)\right]=\frac{1}{2}\left[(1-c(0))^2-(1-c)^2\right]
\]
整理有
\[
\dot{c}^2=[1-c(0)]^2+\dot{c}^2(0)-(1-c)^2
\]
因起点为\((-2,0)\)，即\(c(0)=-2,\dot{c}(0)=0\)，故相轨迹方程为
\[
\dot{c}=\sqrt{9-(1-c)^2}
\]
这是一个抛物线方程，相轨迹在开关线\(c=1\)上的交点坐标为\(c=1,\dot{c}=3\)，即\((1,3)\)。根据相轨迹的对称性可知，另一对称交点坐标为\((1,-3)\)。
对于 \(\ddot{c}+c=-1\)，有
\[
\dot{c}\,\mathrm{d}\dot{c}=-(1+c)\mathrm{d}c
\]
积分并整理得
\[
\dot{c}^2=[1+c(0)]^2+\dot{c}^2(0)-(1+c)^2
\]
由起点\((1,3)\)即\(c(0)=1,\dot{c}(0)=3\)，得相轨迹方程
\[
\dot{c}=\sqrt{13-(1+c)^2}
\]
这也是一个抛物线方程，相轨迹在开关线\(c=-1\)上的交点为\((-1,-3.6056)\)，其对称相点为\((-1,3.6056)\)。
当起点为\((-1,-3.6056)\)时，相轨迹方程是
\[
\ddot{c}+c=1
\]
积分并整理后得
\[
\dot{c}=\sqrt{17-(1-c)^2}
\]
其与开关线\(c=1\)的交点为\((1,4.1231)\)，对称相点为\((1,-4.1231)\)。
绘系统相轨迹曲线如图8-95所示。
8-33 设非线性系统如图8-96所示。若希望输出\(c(t)\)为频率\(\omega=2\)，幅值\(A_c=2\)的周期(近似正弦)信号，试确定系统参数\(K\)与\(a\)的值\(\left(\text{非线性环节描述函数 } N(A)=\dfrac{4M}{\pi A}\right)\)。
解 系统线性部分传递函数为
\[
G(s)=\frac{2K}{s(s+1)(s+a)}=\frac{2K}{(1+a)s^2+s(s^2+a)}
\]
由题意，要求系统产生自振，其自振频率\(\omega=2\)，自振振幅\(A=2A_c=4\)。因此负倒描述函数与\(G(j\omega)\)交点处
\[
-\frac{1}{N(A)}=-\frac{\pi A}{4M}=-\pi
\]
频率特性