第5章 线性系统的频域分析法
The Frequency Domain Analysis of Linear Systems
第2部分
电控学
===== 幻灯片 2 =====
R(s) C(s)
G(s) C(s) G(s)
(s )
H(s) R(s) 1 H(s)G(s)
为了保证系统稳定，特征方程 1 G( s) H ( s ) 0
的全部根，都必须位于左半s平面。虽然开环传
递函数 G(s) H ( s) 的极点和零点可能位于右半s
平面，但如果闭环传递函数的所有极点均位于
左半s平面，则系统是稳定的.
5.4奈奎斯特稳定判据
===== 幻灯片 3 =====
H ( j )G ( j ) 与 1 H ( s )G ( s )
在右半s平面内的零点数和极点数联系起来的判
据。这种方法无须求出闭环极点，得到广泛应用。
由解析的方法和实验的方法得到的开环频
率特性曲线，均可用来进行稳定性分析
奈奎斯特稳定判据是建立在复变函数理论中的
图形映射基础上的.
5.4奈奎斯特稳定判据
===== 幻灯片 4 =====
幅角定理：
设F(s)是复数变量 s 的有理分式，其分
子分母多项式的次数相等。
对于s平面上给定的一条不通过F(s)任何奇
点的连续封闭曲线，在F(s)平面上必存在一条
封闭曲线与之对应。
5.4奈奎斯特稳定判据
===== 幻灯片 5 =====
设复变函数F(s)有z个零点和p个极点，被s平面上某
一个封闭曲线Ts包围， Ts不通过F(s)的任何一个零点
和极点，当复变量s按顺时针方向沿Ts转一圈时，在F(s)
这个映射平面上，它的映射曲线TF将沿坐标原点转R=P-
Z圈。
R<0 顺时针包围 R>0 逆时针包围
R=0 不包围原点
5.4奈奎斯特稳定判据
===== 幻灯片 6 =====
1.有理分式的选取 R(s) C(s)
G(s)
F ( s) 1 G ( s) H ( s)
H(s)
开环传函
B(s)
G 0(s) G(s)H(s)
A(s)
闭环传函
G(s) G(s)
Φ(s)
1 G(s)H(s) 1 G 0(s)
B(s) A(s) B(s)
F(s) 1 G(s)H(s) 1
A(s) A(s)
5.4奈奎斯特稳定判据
===== 幻灯片 7 =====
F(s) 1 G(s)H(s) 1
A(s) A(s)
F(s)的特点:
(1) F(s)的零点=闭环极点
(2) F(s)的极点=开环极点
(3) F(s)的零、极点数目相同
(4) F(s)和G(s)H(s)只差常数1
5.4奈奎斯特稳定判据
===== 幻灯片 8 =====
j
两个部分组成： j∞
虚轴 Γs1 s2
R 的半圆形Γs2
s1
s
Γs Γs1 Γs2
-j∞
那么Ts就扩大为包括虚轴的整个右半平面
5.4奈奎斯特稳定判据
===== 幻灯片 9 =====
（1）Γs1 曲线的映射（虚轴）：
1 s j
F(s) 1 G(s)H(s) s jω
1 G(jω)H(jω)
是开环频率特性与常数1叠加
5.4奈奎斯特稳定判据
===== 幻灯片 10 =====
s Rejθ (R ) θ 90 0 90
m
K (s z i )
i 1
F(s) s jθ 1 n s jθ 1
Re Re
limR
(s p )
j 1
j
limR
由于实际物理系统中，开环传函中分母的最高
次幂总是大于分子的最高次幂 n>m
5.4奈奎斯特稳定判据
===== 幻灯片 11 =====
假设 Γs 曲线内包围了F(s) 的z个零点和p个极
点， F(s) 映射平面上的映射曲线将包围坐标原
点 R=p-z圈。
p 表示F(s)位于右半平面的极点数
z 表示F(s)位于右半平面零点数
5.4奈奎斯特稳定判据
===== 幻灯片 12 =====
统是稳定的 R=p ，即当复变量s在s平面上围绕
Γs 回线顺时针转一圈时， F(s)将逆时针绕原
点转p圈（p为开环右根数），系统稳定。
对最小相位系统p＝０，即F(s)不包围原点，
系统稳定。
5.4奈奎斯特稳定判据
===== 幻灯片 13 =====
ΓF ΓGH
0 1
-1 0
F(s)包围原点，相当于G(s)H(s)包围（-1，j0）点
5.4奈奎斯特稳定判据
===== 幻灯片 14 =====
也即 ~ 如果开环频率特性逆时针包
含(-1,j0)点P圈，闭环是稳定的。对最小相位系
统，不包含（-1,j0）点，系统稳定。
如 0 ~ （开环频率特性只画一半）
当开环频率特性逆时针包含(-1,j0)点p/2圈时，系
统稳定。最小相位系统，不包含（-1,j0）点，系
统稳定。
5.4奈奎斯特稳定判据
===== 幻灯片 15 =====
新书: p210奈氏判据 P ---> P/2
===== 幻灯片 16 =====
例1: G( s) H (s) (T s 1)(T s 1)
1 2
k
G ( j ) H ( j )
(T1 j 1)(T2 j 1)
Im
-1 j 0- k P=0 系统稳定
j 0
5.4奈奎斯特稳定判据
===== 幻灯片 17 =====
例2 G 0 ( j )
( j 1)( 0 . 5 j 1)( 0 . 2 j 1)
-7.9
Im
100 Re
P=0
(-1,j0) R=-2顺时针包围
Z=2不稳定
图形与实轴有交点:－7.9
(分母有理化，按虚、实部讨论计算)
5.4奈奎斯特稳定判据
===== 幻灯片 18 =====
反馈控制系统稳定的充要条件是nyquist曲
线逆时针包围(-1,j0)点的圈数等于开环传函
右半平面的极点数p，即R=p，否则闭环系统不
稳定。闭环正实部根个数 z=p-R.
P 开环右根数
Z 为闭环传函在右半s平面的极点数
R 开环nyquist图逆时针包围（-1，j0）点圈数
逆时针包围为正，顺时针包围为负
5.4奈奎斯特稳定判据
===== 幻灯片 19 =====
当G(s)H(s)有等于零的极点，则闭合曲线Ts过该
点。s平面的闭合曲线Ts通过原点时，其映射不再封闭，
这时判据不成立.
Im
例
k
G ( s ) H ( s) G0 ( s )
s( s 1)
Re
有一个s=0的极点
曲线不闭合，如何使用奈氏定理？
5.4奈奎斯特稳定判据
===== 幻灯片 20 =====
j
Ts应稍作变动，使其不过s=0极点。取一个 s e
的小半圆绕过原点，也即不通过F(s)的奇点
j
以半径趋于0的半圆在原
点右侧绕过这一极点.
=0+
π π 1
=0-
θ － 0
2 2
ε
当取一个 s e j 的小半圆后，
映射曲线TF 应作增补
5.4奈奎斯特稳定判据
===== 幻灯片 21 =====
(1)当含有一个s=0的极点时 ( 1)
m
k ( i s 1) j
i 1
s e
G ( s) H (s ) n
s (T j s 1)
0
j 1
k k k j
G ( s ) H ( s ) j e
s e
当 从－ 0 时
2 2
通过增补变为闭合曲线
5.4奈奎斯特稳定判据
===== 幻灯片 22 =====
加个半径为无穷大，角度由 90 0 90 的圆。可
看到小半圆通过映射为半径趋于无穷大的半圆。
, k j
A 0 90 A e 90
k j
B 0 0 B, e 0
k j
C 0 90 C, e 90
补 180
5.4奈奎斯特稳定判据
===== 幻灯片 23 =====
j
∞
c
a b ∞ b'
Ts c'
k
G(s)H(s)
s(T 1s 1)(T 2 s 1)
===== 幻灯片 24 =====
k
G 0(s) 2 Im
s (Ts 1)
顺时针包围
∞ Re
c'
（-1，j0）点两圈 a'
-1 ∞ b'
Ｒ=－2，p= 0，z=2
所以系统不稳定
360
增补： 从 0 到 0 以无穷大半径顺时针补
5.4奈奎斯特稳定判据
===== 幻灯片 25 =====
从 0 到 0 以无穷大半径顺时针补
由于对称性，可以补一半，这时由 到
0 以无穷大半径，顺时针补 2 个圆弧.
或: 从 0 开始，反时针补圆弧 2 ,圆
弧上的频率增加方向为顺时针。
一般只需绘制半闭合开环幅相曲线，据此判别
闭环系统稳定性.
5.4奈奎斯特稳定判据
===== 幻灯片 26 =====
G ( s) H ( s) 2
例 s ( s 1)(2 s 1)
∞
∞
稳定
5.4奈奎斯特稳定判据
===== 幻灯片 27 =====
G(jω)H(jω) 对( , 1)轴穿过的现象叫穿越.
正穿越：逆时针包含(-1,j0) 点时，必然是从上到
下 穿越 ( ,1) 轴，伴随着相角的增大。
负穿越：顺时针包含(-1,j0) 点时，必然是从下
到上穿越 ( ,1)轴，伴随着相角的减小。
半次穿越: 始于或止于 (-1,j0) 点以左的负实轴
5.4奈奎斯特稳定判据
===== 幻灯片 28 =====
当 从0到 变化:
正负穿越次数之差=p/2 是稳定的.
最小相位系统，正负穿越之差=0时，系统稳定。
===== 幻灯片 29 =====
. Im
正、负穿越的概念
要点：
1） 只讨论位于 (1, j0)
-1 Re 点左侧的穿越。
2）正穿越为相角增
加的方向。
3）半闭合曲线穿越
. 的次数为
P
N N N
2
5.4奈奎斯特稳定判据
===== 幻灯片 30 =====
P=0
稳定
===== 幻灯片 31 =====
K
G(s)H(s)
Ts1
j
k
稳定
===== 幻灯片 32 =====
Bode图与Nyquist图的对应关系：
1. Nyquist图单位园 — Bode图幅频特性0dB线
Im L
单位圆外
Re
单位圆 0
单位圆内相量
5.4奈奎斯特稳定判据
===== 幻灯片 33 =====
正、负穿越的概念与nyquist图类似
( )() 正穿越：伴随着
相角的增大。
0
反之负穿越。
180
===== 幻灯片 34 =====
当 从0到 变化:
在 L( ) 0 的正值区间范围内,相频特性对
线的正负穿越次数之差=P/2 ,系统稳定.
最小相位系统，在 L( ) 0 的正值区间范围
内,相频特性在 线的上方,系统稳定。
当G(s)H(s)包含积分环节时,在对数相频曲线 0
μ
的地方,补画一条从 G ( j 0 ) H ( j 0 ) 到 G(j0 )H(j0 ) π
2
的虚线.
5.4奈奎斯特稳定判据
===== 幻灯片 35 =====
L
P0
N 1
N 2
N N N 1 Z P 2N 2 不稳定
===== 幻灯片 36 =====
L
-20
-40
-60
稳定
===== 幻灯片 37 =====
例 G(s)H(s) 2
s (Ts1)
L
dB/dec
-60dB/dec
0
00
- 2
不稳定
-
===== 幻灯片 38 =====
L
0
40
20 -20
30
20
-40
10
5 100
0.01 0.1
-60
===== 幻灯片 39 =====
幅值裕度
相对稳定性——稳定裕量
相角裕度
系统的截止频率(开环剪切频率) c :
G ( jc ) H ( jc ) 1
相角裕度:
在开环剪切频率处，使闭环系统达到临界稳
定状态时，所要增加的相角，叫相角裕度。
1800 ( c ) 1800 G ( j c ) H ( j c ) 为负值
5.4奈奎斯特稳定判据
===== 幻灯片 40 =====
g ( j g ) 1800
Im Im
G 0 ( j g )
kg 不稳定
c
Re g
• Re
-1 g -1
• •
c
• kg
稳定
G 0 ( j g )
以 为基准，逆时针扫过是正值，顺时针
扫过是负值
0 系统稳定 0 系统不稳定
对Bode图， c 是幅频特性与 轴的交点。
5.4奈奎斯特稳定判据
===== 幻灯片 41 =====
相位穿越频率： g
G ( j g ) H ( j g ) ( j g ) 1800
幅值裕度: k g
在相位穿越频率处，使闭环系统达到临界稳定状态
时，幅值增大与减小的倍数，叫幅值裕度。
1
kg
G ( j g ) H ( j g )
k g 1 系统稳定 k g 1 系统不稳定
5.4奈奎斯特稳定判据
===== 幻灯片 42 =====
Bode图
g 是相频特性与 180 线的交点。
对数坐标
1
k g 20 log 20 log G ( j g ) H ( j g )
G ( j g ) H ( j g )
kg 0 系统稳定 kg 0 系统不稳定
===== 幻灯片 43 =====
L( ) dB L( ) dB
0 dB c 0 dB kg<0 c
rad / s rad / s
kg>0
( ) ( )
g
0 0 g 0 0
rad / s rad / s
-1800 -1800
0
0
稳定 不稳定
5.4奈奎斯特稳定判据
===== 幻灯片 44 =====
1. , kg 表示nyquist图对(-1,j0)点的靠近程度，
是动态指标的衡量。
2.最小相位系统，只有 0 kg 1 时，系统稳定。
3.裕度反映了相对稳定性大小，单纯用
与 k g ，有时都不能反映稳定程度，一般要两
者同时使用。在开环剪切频率处，相角变化比
较缓慢时，可以单独用 。
4.工程上一般 30 ~ 60 , k g 6 dB
5.4奈奎斯特稳定判据
===== 幻灯片 45 =====
一一对应关系
要求： 30 ~ 60 时，
剪切 c 处的斜率 40dB/ dec
注意：
(1)稳定裕量概念只适合于开环稳定的系统
(2) 稳定裕量概念判系统稳定基于Nyquist判据
5.4奈奎斯特稳定判据
===== 幻灯片 46 =====
反馈成为正反馈。
Asinωt A’sin(ωt+1800)
+ G0(jω)
-
A’ ≥ A 时不稳定
实际应用中提高稳定裕量的方法：
(1)减小开环放大倍数K值
(2)错开各环节的时间常数
5.4奈奎斯特稳定判据
===== 幻灯片 47 =====
L( ) dB
0 dB c
'c
( )
00
-1800
5.4奈奎斯特稳定判据
===== 幻灯片 48 =====
k1 k1 k1
+ T1 s 1 T1 s 1 T1 s 1
-
L( ) L( )
0 0
-20 1
0 dB c 0 dB c T3
1 1 1 1 1
T1 T2 T3 -60 T1 T2 -40
-60
( ) ( )
00 00
-1800 -1800
-2700 -2700
===== 幻灯片 49 =====
例6 G0 ( s ) k=5和k=20
s( s 1 )( 0.1s 1 )
判断系统的稳定性，求相角裕量和幅值裕量
解（1）确定所有转折频率：
ω1＝1 －20dB/dec 变化
ω2＝10 －20 dB/dec 变化
(2)绘图：注意低频段，在ω＝1左边
当k=5 通过点 L(1) = 20lg5 = 14dB 斜率 -20dB/dec
当 k=20通过点L(1) = 20lg20 = 26dB 斜率-20dB/dec
5.4奈奎斯特稳定判据
===== 幻灯片 50 =====
L( ) dB
40 -20
20 -40
c 2
rad / s
0.1 1 c1 10
14dB -20 -60
-40
( ) 度
3.16
rad / s
0.1 1 10
-900
-1800
-2700
5.4奈奎斯特稳定判据
===== 幻灯片 51 =====
（3）计算相角裕量，步骤如下：
1）求穿越0dB线的 c
2）求 ( c )
3）求 (c )
5.4奈奎斯特稳定判据
===== 幻灯片 52 =====
14dB
-40db/dec
40 (lg c 1 lg 1 ) 14 dB
K=5 40 lg c 1 14 dB , c 1 2 . 24
1 0dB线 c1
660 12.60
( c 1 ) 90 0 tg 1 ( c 1 ) tg 1 ( 0 . 1 c 1 ) 168 . 6 0
180 0 (c1 ) 11.4 0 0
（4）根据相角裕量判断系统稳定性。
结论1： K=5时,系统稳定
5.4奈奎斯特稳定判据
===== 幻灯片 53 =====
26dB 40(lg c 2 lg 1) 26dB
-40db/dec
K=20 40 lg c 2 26dB, c 2 4.47
1 0dB线 c 2
(c1 ) 900 tg 1 (c 2 ) tg 1 (0.1c 2 ) 191.50
77.40 24.10
1800 (c 2 ) 11.50 0
结论2：K=20 时，系统不稳定
5.4奈奎斯特稳定判据
===== 幻灯片 54 =====
G(s) 1 G ( s) H ( s)
闭环传函 ( s)
1 G ( s) H ( s ) H ( s) 1 G ( s) H ( s )
因H(s)一般为常数，不会影响闭环频率特性的形
状，研究闭环频域指标，只讨论单位反馈系统。
G ( j )
闭环频率特性 ( j )
1 G ( j )
闭环频率特性绘制： 1.解析法
2.等M等N圆
5.4奈奎斯特稳定判据
===== 幻灯片 55 =====
二阶系统开环频率特性
2
n
G ( j ) A( )e j ( )
j ( j 2n )
二阶系统闭环频率特性
2
n j ( )
( j ) 2 2
M ( ) e
( j ) 2( j )n n
5.4奈奎斯特稳定判据
===== 幻灯片 56 =====
1 .闭环幅频特性的零频值M(0) 0
k
当 0时， M (0) 1
1 k
当 0时， M (0) 1
2 .闭环幅频特性的谐振峰值
1 2
Mr 0 0.707
2 1 2 2
反映了系统的阻尼程度
5.4奈奎斯特稳定判据
===== 幻灯片 57 =====
ζ 0.707 M r 1 无峰值，有超调量σ% 4.3%
ζ 0.707 M r单调衰减，有超调量σ% 0
5.4奈奎斯特稳定判据
===== 幻灯片 58 =====
===== 幻灯片 59 =====
高频段决定系
j0 统的抗干扰能
0
3 力，希望衰减
j0 -3
带宽 的越快越好。
低频段决定
系统的稳态 输入信号
b
干扰信号
Rj
性能，希望
j
越高越陡越
好。 m n
===== 幻灯片 60 =====
r n， r 反映系统的快速性
4.带宽频率 b n 1 2 2 (1 2 2 ) 2 1
M ( ) 0.707 M (0) b
b 反映系统的快速性
b 越大，高频进入的可能性越大，要综合考虑
5.4奈奎斯特稳定判据
===== 幻灯片 61 =====
带宽频率是一项重要指标。 选的合适既能以所需精度
跟踪输入信号，又能拟制噪声扰动信号。在控制系统实际
运行中，输入信号一般是低频信号，而噪声信号是高频信
号。
如果输入信号的带宽为
0 M
则 ωb (5 - 10)ωM
5.4奈奎斯特稳定判据
===== 幻灯片 62 =====
1.截止频率
c n (4 4 1 2 2
ωc ωn，ωc 反映系统的快速性
2.相位裕度
2ξ
γ arctg
4ξ4 1 2ξ2
反映了系统的阻尼程度
5.4奈奎斯特稳定判据
===== 幻灯片 63 =====
谐振峰值 1 经验公
Mr
sin 式
超调量
0.16 0.4( M r 1) 1 M r 1.8
调节时间 t K
s
c
K 2 1.5( M r 1) 2.5( M r 1) 2
35 90
5.4奈奎斯特稳定判据
===== 幻灯片 64 =====
5.12
5.14
5.16
===== 幻灯片 65 =====