\[
=\frac{M_1+M_2}{\dfrac{M_1}{R_1C_1}+\dfrac{M_2}{R_2C_2}}=\frac{M_1+M_2}{\dfrac{M_1}{T_1}+\dfrac{M_2}{T_2}}=\frac{T_1T_2(M_1+M_2)}{T_1M_2+T_2M_1}
\]
2-12
在图2-8所示的齿轮系中,\(z_1\),\(z_2\),\(z_3\),\(z_4\)分别为齿轮的齿数;\(J_1\),\(J_2\),\(J_3\)分别为齿轮和轴(\(J_3\)中包括负载)的转动惯量;\(\theta_1\),\(\theta_2\),\(\theta_3\)分别为各齿轮轴角位移;\(M_m\)是电动机输出转矩。试列写折算到电动机轴上的齿轮系运动方程(忽略各级黏性摩擦)。
图2-8 齿轮系原理图
解 由图2-8可知
\[
M_m=J_1\frac{\mathrm{d}^2\theta_1}{\mathrm{d}t^2}+J_2\frac{\mathrm{d}^2\theta_2}{\mathrm{d}t^2}+J_3\frac{\mathrm{d}^2\theta_3}{\mathrm{d}t^2}
\]
根据齿轮轴角位移与齿数的关系可得
\[
\frac{\theta_1}{\theta_2}=\frac{z_2}{z_1},\qquad \frac{\theta_1}{\theta_3}=\frac{\theta_1}{\theta_2}\cdot\frac{\theta_2}{\theta_3}=\frac{z_2}{z_1}\cdot\frac{z_4}{z_3}
\]
即
\[
\theta_2=\frac{z_1}{z_2}\theta_1,\qquad \theta_3=\frac{z_1}{z_2}\cdot\frac{z_3}{z_4}\theta_1
\]
则电动机轴上的齿轮系运动方程为
\[
M_m=J_1\frac{\mathrm{d}^2\theta_1}{\mathrm{d}t^2}+J_2\left(\frac{z_1}{z_2}\right)^2\frac{\mathrm{d}^2\theta_1}{\mathrm{d}t^2}+J_3\left(\frac{z_1}{z_2}\cdot\frac{z_3}{z_4}\right)^2\frac{\mathrm{d}^2\theta_1}{\mathrm{d}t^2}
\]
2-13
在图2-9所示的无源网络中,已知\(R_1=100\text{k}\Omega\),\(R_2=1\text{M}\Omega\),\(C_1=10\mu\text{F}\),\(C_2=1\mu\text{F}\)。试求网络的传递函数\(U_o(s)/U_i(s)\),并说明该网络是否等效于两个RC网络串联。
解 对于图2-9,利用复数阻抗的方法可得网络的传递函数为
\[
\frac{U_o(s)}{U_i(s)}=\frac{\dfrac{1}{C_2s}}{\left(R_2+\dfrac{1}{C_2s}\right)\cdot\dfrac{1}{C_1s}\Big/\left[\left(R_2+\dfrac{1}{C_2s}\right)+\dfrac{1}{C_1s}\right]+R_1}
\]
\[
=\frac{R_2C_1s+\dfrac{C_1}{C_2}+1}{R_1R_2C_1C_2s^2+(R_1C_1+R_2C_2+R_1C_2)s+1}=\frac{10s+11}{s^2+2.1s+1}
\]
由于两个RC网络串联网络的传递函数为
\[
\frac{U_o(s)}{U_i(s)}=\frac{1}{(R_1C_1s+1)(R_2C_2s+1)}=\frac{1}{s^2+2s+1}
\]
故该网络与两个RC网络串联形成的网络不等效。
图2-9 无源网络电路图
2-14
设电位器误差检测器电路如图2-10所示,图中电源电压\(E\)及电位器最大工作角度\(\theta_{\max}\)已知。试推导空载时,电位器误差角\(\Delta\theta=\theta_1-\theta_2\)与输出电压\(u_o\)之间的传递函数\(U_o(s)/\Delta\Theta(s)\)。若电位器输出端接有负载\(Z(s)\),对这个传递函数有什么影响?
解 空载时,电位器误差角与输出电压之间的传递函数为
\[
\frac{U_o(s)}{\Delta\Theta(s)}=K_1=\frac{E}{\theta_{\max}}
\]
当电位器输出端接有负载\(Z(s)\)时,电位器阻抗为