由几何性质可知:
\[20\lg|K| = 20\upsilon\lg\frac{\omega_1}{1}, \quad \omega_1 = |K|^{\frac{1}{\upsilon}}\]
5-8 试将下述系统的开环传递函数按典型环节分解:
(1) \(G(s)H(s)=\dfrac{50(s-3)(4s^2+4s+1)}{(s^3+4s^2+25s)(s-1)(s^2+5s+6)}\);
(2) \(G(s)H(s)=\dfrac{3(s^3+3s^2+3s+1)(s^3+s^2)}{(s^2+s-6)(s^2+2s)(s^2+s+1)}\)。
解 (1) 将系统(1)的开环传递函数等效变换为
\[G(s)H(s)=\frac{\left(-\dfrac{1}{3}s+1\right)(4s^2+4s+1)}{s(-s+1)\left(\dfrac{1}{25}s^2+\dfrac{4}{25}s+1\right)\left(\dfrac{1}{6}s^2+\dfrac{5}{6}s+1\right)}\]
\[=\frac{\left(-\dfrac{s}{3}+1\right)(2s+1)^2}{s(-s+1)\left(\dfrac{s}{2}+1\right)\left(\dfrac{s}{3}+1\right)\left[\left(\dfrac{s}{5}\right)^2+2\times\dfrac{2}{5}\times\left(\dfrac{s}{5}\right)+1\right]}\]
故该系统可分解为:一个非最小相位的一阶微分环节,两个相同的最小相位一阶微分环节;一个非最小相位的惯性环节,一个积分环节,两个最小相位惯性环节,一个阻尼比\(\zeta=0.4\)的振荡环节。
(2) 将系统(2)的开环传递函数等效变换为
\[G(s)H(s)=\frac{3s^2(s+1)^4}{s(s+3)(s-2)(s+2)(s^2+s+1)}\]
\[=\frac{-\dfrac{1}{4}s(s+1)^4}{\left(\dfrac{s}{3}+1\right)\left(-\dfrac{s}{2}+1\right)\left(\dfrac{s}{2}+1\right)\left(s^2+2\times\dfrac{1}{2}\times s+1\right)}\]
故该系统可分解为:一个非最小相位的比例环节,一个微分环节,四个相同的最小相位一阶微分环节;一个非最小相位的惯性环节,两个最小相位惯性环节,一个阻尼比\(\zeta=0.5\)的振荡环节。
5-9 计算题5-8所给系统在\(\omega=2\)和\(\omega=20\)时的幅频特性\(A(\omega)\),对数幅频特性\(L(\omega)\)以及相频特性\(\varphi(\omega)\)。
解 (1) \(G(s)H(s)=\dfrac{50(s-3)(4s^2+4s+1)}{(s^3+4s^2+25s)(s-1)(s^2+5s+6)}\)
由系统的开环传递函数可得,系统的开环幅频、开环对数幅频和相频特性如下:
\[A(\omega)=\frac{\sqrt{1+\left(\dfrac{\omega}{3}\right)^2}\cdot(1+4\omega^2)}{\omega\sqrt{1+\omega^2}\sqrt{1+\left(\dfrac{\omega}{2}\right)^2}\sqrt{1+\left(\dfrac{\omega}{3}\right)^2}\sqrt{\left(1-\dfrac{\omega^2}{25}\right)^2+\left(\dfrac{4\omega}{25}\right)^2}}\]