课件
第8章 非线性控制系统分析
Analysis of Nonlinear Control System
自动化系
北方工业大学
===== 幻灯片 2 =====
实际中完全线性的系统是不存在的；控制系统的质量精
度要求越来越高， 因而要求用更精确的方法来描述和研究
真实的系统。
大多数控制系统可以用小偏差法将非线性特性线性化，
并用线性理论进行研究。
本章研究的是不可线性化的本质非线性系统。涉及这类
系统的描述方法和部分特性分析
人类关于非线性系统的分析和控制仍在积极探索中。
===== 幻灯片 3 =====
8.1 非线性系统概述
Introduce to Nonlinear System
8.2 描述函数分析法
Describing Function
8.3 相平面分析法
Phase Plan Analysis
本章重在“分析”， 且以稳定性问题为中心展开
===== 幻灯片 4 =====
描述非线性系统运动的数学模型为非
线性微分方程，不能运用叠加原理
稳定性
非线性系统不存在整个系统是否稳定的笼统概念；故其稳
定性不仅与系统的结构和参数有关，而且与运动的初始条
件、输入信号有直接关系。非线性系统可能存在着多个平
衡状态，其中某些稳定，某些不稳定。
例
8.1 非线性系统概述
===== 幻灯片 5 =====
线性系统的时间响应与输入信号的大小及初始条
件无关。
8.1 非线性系统概述
===== 幻灯片 6 =====
线性系统仅在临界稳定的情况下，才能产生周期运动，
一旦受到扰动，原来周期运动便不具有稳定性；
非线性系统在没有外界周期变化信号的作用下，系统
就能产生具有固定振幅和频率的稳定周期运动，称为
自振，其振幅和频率由系统本身的特性所决定。
通常，不希望出现自激振荡，因为消耗大；但有时高
频、小幅度的振动可以用来克服摩擦、间隙等非线性
因素给系统带来的不利影响。
8.1 非线性系统概述
===== 幻灯片 7 =====
线性系统为单值响应；非线性系统为多值响应，在某一
频率处对应几个幅值。
非线性系统有畸变现象
在正弦信号响应包含有基频和倍频等各次谐波分量。
8.1 非线性系统概述
===== 幻灯片 8 =====
非线性特性的等效增益:
非线性特性表示为： y f (x)
x输入 y 输出
y f ( x)
等效增益 k
x x
为变增益,可将非线性特性视为变增益
比例环节.
===== 幻灯片 9 =====
1 理想继电(relay)特性
x0 y 从 M M
x0 y 从 M M
y f ( x)
等效增益 k
x x
可看作变增益比例环节
继电器特性往往会造成系统自激
振荡，不稳定。
例：继电器、接触器、可控硅等
8.1 非线性系统概述
===== 幻灯片 10 =====
等效增益表示的非线性系统
K*
G ( s)
s( s 2)(s 3)
K *M
临界稳定的kK*=30 M kx1 x1
30
30 30
x(t ) x1 k * x(t ) x1 k *
K K
使系统产生振荡现象
===== 幻灯片 11 =====
当输入 x 时，y 0 ；
当输入 x 时，
y k0 ( x )
举例：力和位移的关系
测量元件 放大元件 执行机构的不
灵敏造成的.使系统存在稳态误差
对系统动态性能的影响: 例
8.1 非线性系统概述
===== 幻灯片 12 =====
V0 KVi
最高为电源电压,则最大为12V
使系统的开环增益在饱和区时下降.
例
8.1 非线性系统概述
===== 幻灯片 13 =====
1）增大了系统的稳态误差，
降低了控制精度，这相当于
死区的影响;
2）使系统过渡过程的振荡加
剧，甚至使系统变为不稳定;
3）使系统的波形失真
8.1 非线性系统概述
===== 幻灯片 14 =====
F1静摩擦力
F2动摩擦力
F2 F1
静态：相当于执行机构中引入死
区，增大系统的稳态误差，降低
精度。
动态：造成低速运动的不平滑性.
返回
8.1 非线性系统概述
===== 幻灯片 15 =====
(1)相平面法
(2) 描述函数法
(3)逆系统法
===== 幻灯片 16 =====
8.2.1 描述函数的概念
8.2.2 典型非线性的描述函数
8.2.3 用描述函数法分析非线性系统
8.2 描述函数法
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描述函数法是分析非线性控制系统的一种近似方法，是线性
系统理论中的频率法在一定假设条件下，在非线性系统的应
用。
当系统满足一定的假设条件时，系统中非线性环节在正弦信
号下的输出可用一次谐波分量来近似。由此导出非线性环节
的近似的等效频率特性，即描述函数。
这时非线性系统特性就近似等效为线性系统特性，可应用线
性系统理论中的频率法对系统进行频域分析。
8.2 描述函数法
===== 幻灯片 18 =====
1. 系统线性部分和非线性环节可以分离。图中
NL为非线性环节，G为线性部分的传递函数。
8.2 描述函数法
===== 幻灯片 19 =====
2.非线性环节特性具有奇对称特性，保证非线性特
性环节在正弦信号作用下输出不包含恒定分量。
3. 非线性部分输出中基波分量最强。
4.线性部分应具良好的低通滤波特性。
若满足以上条件，描述函数可定义为非线性环
节输出基波分量与输入正弦量的复数比。
8.2 描述函数法
===== 幻灯片 20 =====
假定：非线性环节的输入 x(t ) Asint
一般情况下，其输出为周期函数，可展开成傅立叶
级数
y (t ) A0 ( An cos n t Bn sin n t )
n 1
A0 Yn sin( n t n )
1 2 1 2
An y (t ) cos ntd (t ) A0 0 y (t )d (t )
0 2
1 2
Bn y (t ) sin ntd (t )
0
8.2 描述函数法
===== 幻灯片 21 =====
Yn An Bn n tg
Bn
由于非线性环节有奇对称特性
A0 0
且当n>1时,Yn均很小
===== 幻灯片 22 =====
y (t ) y1 (t )
A1 cos t B1 sin t
Y1 sin(t 1 )
A1
Y1 A B
1
2
1
2 1 arctg ( )
B1
1 2
A1 y(t ) cos td (t )
0
1 2
B1 y (t ) sin td (t )
0
8.2 描述函数法
===== 幻灯片 23 =====
根据前述，描述函数定义为：
正弦输入信号作用下，输出信号的一次谐波
和输入信号的复数比，用N ( A, ) 表示。
当非线性环节中不包含储能元件时，其描述
函数是输入信号的幅值A的函数，用 N ( A) 表
示，相当于一个可变增益的放大倍数
8.2 描述函数法
===== 幻灯片 24 =====
jN ( A )
N ( A) N ( A) e
Y1 j A12 B12 jtg ( A / B )
1
e 1
e 1 1
A A
B1 A1 A1
j 1 arctg ( )
A A B1
条件：
x(t ) A sin t
y (t ) Y1 sin(t 1 )
8.2 描述函数法
===== 幻灯片 25 =====
1. 根据上述定义求解。先写出正弦信号作
用下非线性环节输出信号的解析表达式，
再按描述函数定义来求解。
2. 复杂的非线性特性，可将其分解为若干简
单的非线性环节的串、并联形式。
1 1 3
举例1： y x x
2 4
8.2 描述函数法
===== 幻灯片 26 =====
若非线性特性为
1 1 3
y x x
2 4
•其特性曲线如图
B1 1 2π 1 1 3
N ( x x ) sin( t ) d ( t )
X πX 0 2 4
===== 幻灯片 27 =====
1 2π 1 1 3
N ( X sin t X sin 3
t ) sin（ t ） d ( t )
πX 0 2 4
2
1 π X π
sin （t）d (t )
2
sin （
4
t）d (t )
π0 2π 0
则有 N B1 1 3 X 2
X 2 16
1 3 2
y (t ) ( X ) X sin t
2 16
===== 幻灯片 28 =====
(1) y(t)为t的奇对称函数,直流分量为A0=0.
f(-x)= -f(x)
(2)y(t)为奇函数-y(t)= y(-t) 则 A1=0
(3) y(t)为奇函数,且又为半周期内对称
y (t ) y ( t )
4 /2
B1 0 y (t ) sin tdt
===== 幻灯片 29 =====
举例：饱和非线性特性
A
===== 幻灯片 30 =====
当 A a 时，饱和特性输出为
KA sin t 0 t
x(t ) Ka t
KA sin t t
式中 1 a
sin
A
===== 幻灯片 31 =====
1 A1
A1 0 1 tg 0
B1
2
B1 0 y (t ) sin td (t )
2 a a a
2
KAsin 1
A A A
===== 幻灯片 32 =====
B1 2 a a a
2
N ( A) K sin 1
A A A A
8.2 描述函数法
===== 幻灯片 33 =====
B1 A1
N ( x) j
X X
K π 2b 2b b b
arcsin1 21 1
π 2 X X X X
4 Kb b
j 1 X b
πX X
表示了间隙特性和它在正弦信号作用下的
输出波形
34
===== 幻灯片 34 =====
35
===== 幻灯片 35 =====
2M mh
2
h
2
N (X ) 1 1
πX X X
2 Mh
j m 1
πX 2
( X h)
可知具有滞环和不灵敏区的继电型特性的描述函数和输
入信号的频率无关，只是输入信号幅值的复数值函数。
===== 幻灯片 36 =====
h 3 π arcsin
1 arcsin X
X
mh mh
2 π arcsin 4 2π arcsin
X X
具有滞环和不灵敏区的继电特性及其波形
===== 幻灯片 37 =====
4M
N(X )
πX
当m=1,三位置理想继电型特性的描述函数
2
4M h
N(X ) 1 , ( X h)
πX X
当m=-1,得到具有滞环的两位置继电型特性的描述函
数
2
4M h 4 Mh
N(X ) 1 j , ( X h)
πX X πX 2
38
===== 幻灯片 38 =====
串联非线性
串联非线性特性的描述函数绝不等于两个非
线性描述函数的乘积。
a b
8.2.3 多重非线性的描述函数
===== 幻灯片 39 =====
K K1 K 2
8.2.3 多重非线性的描述函数
===== 幻灯片 40 =====
并联的非线性特性的描述函数相当于两个非线
性环节的描述函数之和。
8.2.3 多重非线性的描述函数
===== 幻灯片 41 =====
8.2.3 多重非线性的描述函数
===== 幻灯片 42 =====
利用描述函数法分析非线性系统，主要是将线性系统
的奈氏稳定判据推广应用到非线性系统中。
回顾线性系统：
1 KG ( j ) 0
1
1 当曲线不包围点 ( , j 0) 时，系统稳定；
G ( j ) j 0 K
K 反之，系统不稳定。
8.2.3 描述函数的应用
===== 幻灯片 43 =====
当 K为可变的值 [ K1 , K 2 ]时，则曲线 G ( j )不包围线
1 1
段 [
K
,
K
] 时，系统稳定。
1 2
非线性系统闭环特征方程 1 N ( A)G ( j ) 0
1
G ( j ) 负倒描述函数
N ( A)
1 1
用 N ( A) 取代可变增益值 K 则
得到稳定判据在非线性系统中的
应用。
8.2.3 描述函数的应用
===== 幻灯片 44 =====
1
根据 G ( j ) 和
N ( A) 的相对位置可以得到：
当线性部分的 G (s ) 的所有极点均分布在s左半平面，
1
若 G ( j ) 不包围 曲线，则闭环系统是稳定的；
N ( A)
否则不稳定。
1
曲线有箭头，为（输出振幅A）的增大的方向。
N ( A) j
G(j)
0
1
N(A)
(b)
8.2.3描述函数的应用
===== 幻灯片 45 =====
1
若 G ( j ) 与 N ( A) 有交点，说明下式有实数解
1 N ( A)G ( j ) 0
这时非线性系统会发生等幅振荡，即周期运动。交点不止
一个时，就会有若干周期运动的点。
1
G ( j )
N ( A) Re[G ( j ) N ( A)] 1
G ( j ) N ( A ) Im[G ( j ) N ( A)] 0
8.2.3 描述函数的应用
===== 幻灯片 46 =====
非线性系统稳定的周期运动就称为自激振荡。
交点处的频率为自激振荡的频率， 交点处的幅值为
自激振荡的幅值。
8.2.3描述函数的应用
===== 幻灯片 47 =====
振荡稳定判别讨论(M1点)
如果扰动使非线性元件输入振幅A增大，则工作点移至
B点；B点处稳定衰减；振幅A减小，工作点由B点移回。
Im
G(j)
故：无论扰动使振幅增
大或减小,M1点的周期
M1 Re
运动均可维持。该点是 B c
-1
稳定的周期运动点，称 N(A)
D
为自激振荡点。 E M2
8.2.3 描述函数的应用
===== 幻灯片 48 =====
复平面上将 G ( j ) 曲线包围 Im
的区域视为不稳定区域，曲 G(j)
不稳定区域
线不包围的区域视为稳定区
域。
当交点位于负倒描述函数曲 -1
线沿振幅增加的方向由不稳 N(A) C Re
定区域进入稳定区域时，该
交点对应的振荡为自激振荡。
反之，该交点的振荡不能维 B
持，
8.2.3 描述函数的应用
===== 幻灯片 49 =====
运动的稳定性与初始条件有关，这是非线性系
统的特有现象。可能出现:
初始值较小时，运动收敛于零
初始值较大时，运动收敛于自激振荡。
举例:
8.2.3描述函数的应用
===== 幻灯片 50 =====
如图已知继电器控制系统。分析系统， 如果要使
系统不产生自激振荡，应如何调整参数 a 和b？振
荡频率和振幅各是多少？
返回
8.2.3 描述函数的应用
===== 幻灯片 51 =====
相平面法是求解一、二阶常微分方程的图解
法，它是时域分析法在非线性系统中的应用和推
广。
可以用来分析一、二阶线性或非线性系统
的稳定性、运动形式、平衡位置以及初始条件和
参数对系统运动的影响等。
x f ( x, x )
8.3 相平面法
===== 幻灯片 52 =====
相平面（横坐标x(t)，纵坐标x’(t)）
相点[x(t) ,x’(t)]
相轨迹( phase locus) ---沿着时间增加的方向连接相点
相平面上的相轨迹可以反应映系统的运动情况。
相轨迹上的任何一点是相点，每一个相点对应着系统在
某一时刻的一个状态。在相平面上，时间是隐含的。相
轨迹上的箭头方向，表明随时间增加时相点的运动方向。
8.3 相平面法
===== 幻灯片 53 =====
只能用于一阶和二阶线
性或非线性系统
8.3 相平面法
===== 幻灯片 54 =====
解析法：用求解微分方程的方法求出 x 和 x 的关系，从
而在相平面上绘制相轨迹。
1)消去参考变量t。
直接解方程，求出 x (t ) ,在表达式中消去变量ｔ，就
得到 x 和 x 的关系 。
2) 直接积分
例：p359
图解法：等倾线法
等倾线是指在相平面内相轨迹斜率相同点的连线。
8.3 相平面法
===== 幻灯片 55 =====
===== 幻灯片 56 =====
描述系统的微分方程为 x f ( x , x )
相轨迹的对称性可以由对称点上相轨迹斜率来
判断
若关于 x 轴对称，则 f ( x , x ) 是 x 的奇函数
若关于 x 轴对称，则 f ( x , x ) 是 x 的偶函数
若 f ( x, x) f ( x, x) ，相轨迹关于原点对称
8.3 相平面法
===== 幻灯片 57 =====
如果 f ( x, x) 和 x
同时为零，则该点斜率为不
定值， 有相轨迹在该点相交。该点称为奇点。
除奇点外，不同初始条件的相轨迹不会相交。
奇点就是平衡点， 它只能在x 轴上。
除奇点外， 相轨迹总是垂直通过x轴的
相平面的上半平面，相轨迹从左向右
相平面的下半平面，相轨迹从右向左
8.3 相平面法
===== 幻灯片 58 =====
线性一阶系统
T c(t) c(t) r(t)
若r(t)=0
线性一阶系统相轨迹
微分方程 T c c 0
1
相轨迹方程 c c
T
8.3 相平面法
===== 幻灯片 59 =====
2
c 2 n c n c 0
8.3 相平面法
===== 幻灯片 60 =====
8.3 相平面法
===== 幻灯片 61 =====
===== 幻灯片 62 =====
===== 幻灯片 63 =====
奇点和奇线
奇点附近相轨迹形状和根位置的关系
8.3 相平面法
===== 幻灯片 64 =====
奇线是特殊的相轨迹，它将相平面划分为具有
不同运动特点的各个区域
极限环
极限环是相平面上孤立的简单的封闭的相平面，它附
近的其它相轨迹都无限地趋向或者离开这条封闭的相
轨迹。
极限环本身作为一条相轨迹，既不存在平衡点，也不
趋向无穷远。
孤立、简单、封闭极限环的稳定性
稳定的极限环对应自激振荡
8.3 相平面法
===== 幻灯片 65 =====
通常先求奇点，在用作图法或解析法绘制相轨
迹。（奇点总在x 轴上）
对于由线性分段组成的非线性系统，可以把它
分解，把非线性系统当作若干线性子系统来研
究。对于每一个子系统，存在一叶相图和一个
奇点，每一叶相图上相轨迹的运行规律通常是
不同的。
8.3 相平面法
===== 幻灯片 66 =====
我们关心的是每一线性部分的变化规律，和从
这一相平面到另一相平面的过渡。弄清了这些，
就了解了整个非线性系统的运行规律。
这一类非线性特性曲线的折线的各个折点，构
成相平面区域的分界线，称为开关线。
作业:8-16 8-25
8.3 相平面法
===== 幻灯片 67 =====