\[
=\frac{(1-z^{-1})}{20}\mathscr{Z}\left[\frac{20}{s^2}-\frac{1}{s}+\frac{1}{s+20}\right]
\]
\[
=\frac{1}{20}(1-z^{-1})\left[\frac{20Tz}{(z-1)^2}-\frac{z}{z-1}+\frac{z}{z-\mathrm{e}^{-20T}}\right]
\]
\[
=\frac{(20T-1+\mathrm{e}^{-20T})z+(1-\mathrm{e}^{-20T}-20T\mathrm{e}^{-20T})}{20(z-1)(z-\mathrm{e}^{-20T})}
\]
代入 \(T=0.1\),有
\[
G_1H(z)=\frac{0.057z+0.03}{z^2-1.135z+0.135}
\]
于是,得闭环脉冲传递函数
\[
\frac{C(z)}{R(z)}=\frac{KG_1(z)}{1+KG_1H(z)}=\frac{K(0.028z+0.015)}{z^2+(0.057K-1.135)z+(0.03K+0.135)}
\]
(2) 求 \(K\) 值范围。
系统闭环特征方程为
\[
D(z)=z^2+(0.057K-1.135)z+(0.03K+0.135)=0
\]
作 \(w\) 变换,令
\[
z=\frac{w+1}{w-1}
\]
则 \(w\) 域闭环特征方程为
\[
0.087Kw^2+(1.73-0.06K)w+(2.27-0.027K)=0
\]
根据稳定的充分必要条件,应有
\[
K>0,\quad 1.73-0.06K>0,\quad 2.27-0.027K>0
\]
故 \(K\) 值范围为
\[
0<K<28.83
\]
(3) 求稳态输出。
令 \(K=1\),单位阶跃输入的 \(z\) 变换为
\[
R(z)=\frac{z}{z-1}
\]
而闭环脉冲传递函数为
\[
\Phi(z)=\frac{0.028z+0.015}{z^2-1.078z+0.165}
\]
于是由 \(z\) 变换终值定理得
\[
c(\infty)=\lim_{z\to1}(1-z^{-1})C(z)=\lim_{z\to1}(1-z^{-1})\Phi(z)R(z)
\]
\[
=\lim_{z\to1}\left\{\frac{z-1}{z}\times\frac{0.028z+0.015}{z^2-1.078z+0.165}\times\frac{z}{z-1}\right\}
\]
\[
=0.5
\]
7-42 已知采样系统如图7-62所示,各采样开关同步工作,采样周期 \(T\) 及时间常数 \(T_0\) 均为大于零的实常数,且 \(\mathrm{e}^{-T/T_0}=0.2\)。要求:(1) 当 \(D(z)=1\) 时,求使系统稳定的 \(K\) 值范围(\(K>0\));(2) 当 \(D(z)=\dfrac{bz+c}{z-1}\) 及 \(K=1\) 时,采样系统有三重根 \(a\)(\(a\) 为实常数),求 \(D(z)\) 中的系数 \(b,c\) 及重根 \(a\) 的值。
解 (1) 求 \(K\) 值范围。
因 \(D(z)=1\),系统开环传递函数为