幅相特性曲线与实轴和虚轴均无交点,且开环幅相特性曲线在第Ⅳ象限内变化,如图5-103(c)所示。

图5-103 系统概略开环幅相特性曲线

(a) \(G(s)=\dfrac{250(s+1)}{s^2(s+5)(s+15)}\)

(b) \(G(s)=\dfrac{(s+1)^2}{s^2(3s+1)(0.1s+1)^2}\)

(c) \(G(s)=\dfrac{K(s-2)}{s(s-1)}\ (K>0)\)

因为\(\upsilon=1\),在幅相特性曲线上\(\omega=0_+\)的对应点起逆时针补作\(90°\)且半径为无穷大的虚圆弧。由于\(G(s)\)在\(s\)右半平面的极点数\(P=1\),由奈奎斯特曲线知\(N_-=0,N_+=0\),故

应用奈奎斯特判据,算得\(s\)右半平面的闭环极点数为

所以,系统闭环不稳定,有一个正实部的闭环极点。

MATLAB验证:开环幅相特性曲线的MATLAB仿真图如图5-104所示。

应用求根程序,可得

图5-103(a)系统:闭环特征方程为\(s^2(s+5)(s+15)+250(s+1)=0\),求出\(s_1=-16.2781,s_2=-1.1747+\mathrm{j}3.1321,s_3=-1.1747-\mathrm{j}3.1321,s_4=-1.3725\),全部具有负实部。

图5-103(b)系统:闭环特征方程为\(s^2(3s+1)(0.1s+1)^2+(s+1)^2=0\),求出\(s_1=-11.5733,s_2=-8.1919,s_3=-0.5615,s_4=-0.0033+\mathrm{j}0.7913,s_5=-0.0033-\mathrm{j}0.7913\),全部具有负实部。

图5-103(c)系统:闭环特征方程(令\(K=1\))为\(s(s-1)+(s-2)=0\),求出\(s_1=-1.4142,s_2=1.4142\),有一个正实部闭环极点。

MATLAB文本:exe555.m

G1=tf(250*[1,1],conv(conv([1,0,0],[1,5]),[1,15]));
G2=tf(conv([1,1],[1,1]),conv(conv([1,0,0],[3,1]),conv([0.1,1],[0.1,1])));
G3=tf([1,-2],conv([1,0],[1,-1]));
figure(1);nyquist(G1);
figure(2);nyquist(G2);
figure(3);nyquist(G3);
p1=[1,20,75,250,250];root1=roots(p1);
p2=[0.03,0.61,3.2,2,2,1];root2=roots(p2);
p3=[1,0,-2];root3=roots(p3);

· 309 ·