str1=jobsv(A,C)
syms s h1 h2 h3
H=[h1 h2 h3]';eqi=det(s*eye(n)-(A-H*C))-(s+3)^3;collect(eqi,s)
Po=[-3 -3 -3];h=(acker(A',C',Po))'
%
str2=jctr(A,B)
P=[-6 -3+3*i -3-3*i];k=acker(A,B,P)
9-37 已知系统动态方程
\[
\dot{x}=\begin{bmatrix}1&2&0\\3&-1&1\\0&2&0\end{bmatrix}x+\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}u,\quad y=\begin{bmatrix}1&1&1\end{bmatrix}x
\]
试问:(1) 能否用状态反馈将系统的闭环极点配置在\(-3,-4,-5\)处?若有可能,求出该状态反馈;(2) 该系统的状态观测器是否存在?若存在,请设计一个极点位于\(-3,-4,-5\)处的全维状态观测器。
解 (1) 系统的可控性矩阵及其秩为
\[
\boldsymbol{S}=[\boldsymbol{b}\quad \boldsymbol{Ab}\quad \boldsymbol{A}^2\boldsymbol{b}]=\begin{bmatrix}0&0&2\\0&1&-1\\1&0&2\end{bmatrix},\quad \mathrm{rank}\boldsymbol{S}=3
\]
因此系统可控,可以通过状态反馈将其极点任意配置。设将系统的闭环极点配置在期望位置上的状态反馈为负反馈,其反馈增益向量为
\[
\boldsymbol{k}=[k_1\quad k_2\quad k_3]
\]
系统的闭环特征多项式为
\[
f_k(\lambda)=\det[\lambda\boldsymbol{I}-(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{b}\boldsymbol{k})]=\lambda^3+k_3\lambda^2+(k_2-9)\lambda-(7k_3+k_2-2k_1-2)
\]
而闭环系统的期望特征多项式是
\[
f_k^*(\lambda)=(\lambda+3)(\lambda+4)(\lambda+5)=\lambda^3+12\lambda^2+47\lambda+60
\]
比较上述\(f_k(\lambda)\)与\(f_k^*(\lambda)\)同次项的系数可得
\[
k_3=12,\quad k_2=56,\quad k_1=99
\]
因此系统的反馈增益向量为
\[
\boldsymbol{k}=[99\quad 56\quad 12]
\]
(2) 系统可观测矩阵及其秩为
\[
\boldsymbol{V}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{c}\\\boldsymbol{cA}\\\boldsymbol{cA}^2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&1&1\\4&3&1\\13&7&3\end{bmatrix},\quad \mathrm{rank}\boldsymbol{V}=3
\]
故系统可观测,可以通过状态观测器来获取状态向量。现利用输出至状态微分的负反馈来配置极点。为了获取满足要求的反馈增益向量\(\boldsymbol{h}\),先将\((\boldsymbol{A},\boldsymbol{c})\)化为可观测标准型\((\bar{\boldsymbol{A}},\bar{\boldsymbol{c}})\)。由于
\[
\det(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})=\lambda^3-9\lambda+2
\]
即\(a_1=0,a_2=-9,a_3=2\),所以变换矩阵为
\[
\boldsymbol{T}=\begin{bmatrix}a_2&a_1&1\\a_1&1&0\\1&0&0\end{bmatrix}\boldsymbol{V}=\begin{bmatrix}-9&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&1&1\\4&3&1\\13&7&3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4&-2&-6\\4&3&1\\1&1&1\end{bmatrix}
\]