则系统的开环极点为 \(p_1=0, p_2=-5, p_3=-6, p_4=-1+\mathrm{j}, p_5=-1-\mathrm{j}\)；开环零点为 \(z_1=-3\)。
由图 4-69 可知，系统的反馈通路传递函数为
\[H(s)=\frac{K_H^*(s+3)}{s^2+2s+2}\]
系统闭环根轨迹图显示，根轨迹的分离点为 \(d=-5.526\)。
根据根轨迹的幅值条件可知：在分离点处的根轨迹增益为
\[K_G^* K_H^*=\frac{|d-p_1|\cdot|d-p_2|\cdot|d-p_3|\cdot|d-p_4|\cdot|d-p_5|}{|d-z_1|}=11.72\]
又因为反馈通路根轨迹增益 \(K_H^*=5\)，则
\[K_G^*=11.72/K_H^*=2.344\]
闭环存在重极点情况下的闭环传递函数为
\[\Phi(s)=\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}=\dfrac{\dfrac{K_G^*}{s(s+5)(s+6)}}{1+\dfrac{K_G^* K_H^*(s+3)}{s(s+5)(s+6)(s^2+2s+2)}}\]
\[=\frac{2.344(s^2+2s+2)}{s(s+5)(s+6)(s^2+2s+2)+11.72(s+3)}\]
4-22
已知系统开环传递函数 \(G(s)H(s)=\dfrac{K(-s+1)}{(-s+2)(s+4)(-s+3)}\)，试概略绘制 \(K\) 从 \(0\to+\infty\) 时，系统的闭环根轨迹图。
解 系统的开环传递函数
\[G(s)H(s)=\frac{K(-s+1)}{(-s+2)(s+4)(-s+3)}=\frac{-K(s-1)}{(s-2)(s-3)(s+4)}\]
欲概略绘制 \(K\) 从 \(0\to+\infty\) 时系统的闭环根轨迹图，等价于概略绘制 \(K^*\) 从 \(-\infty\to0\) 时以下系统的闭环根轨迹图，其中 \(K^*=-K\)：
\[G(s)H(s)=\frac{K^*(s-1)}{(s-2)(s-3)(s+4)}\]
① 根轨迹的分支和起点与终点：由于 \(n=3, m=1, n-m=2\)，故根轨迹有三条分支，其起点分别为 \(p_1=2, p_2=3, p_3=-4\)，其终点分别为 \(z_1=1\) 和无穷远处。
② 实轴上的根轨迹分布区：\([-4,-\infty), [1,2], [3,+\infty)\)。
根据以上几点，可以画出概略零度根轨迹如图 4-70 所示。
图 4-70 \(1+\dfrac{K^*(s-1)}{(s-2)(s-3)(s+4)}=0\) 概略零度根轨迹图
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