由 \(|G(\mathrm{j}\omega_c)| = \left|\dfrac{\sqrt{1+(K_d\omega_c)^2}}{\omega_c\sqrt{0.4^2+\omega_c^2}}\right| = 1\),解得

由于 \(0.1 \leqslant K_d \leqslant 1.5\),则

再由

考虑到 \(0.1 \leqslant K_d \leqslant 1.5\) 和 \(0.96 \leqslant \omega_c \leqslant 1.58\),则 \(28.10° \leqslant \gamma \leqslant 81.33°\)。

MATLAB 验证:令 \(\omega_n=1\),\(\zeta=0.2\),\(K_d=0.1\) 及 \(K_d=1.5\),作系统开环对数频率特性及单位阶跃响应,分别如图 5-68 和图 5-69 所示。测得 \(\omega_c\),\(\gamma\),\(\sigma\%\),\(t_p\),\(t_s\)(\(\Delta=2\%\))范围如下:

(a) \(G(s)=\dfrac{\omega_n^2(1+K_ds)}{s(s+2\zeta\omega_n)}\)(\(\omega_n=1\),\(\zeta=0.2\),\(K_d=0.1\))　　(b) \(G(s)=\dfrac{\omega_n^2(1+K_ds)}{s(s+2\zeta\omega_n)}\)(\(\omega_n=1\),\(\zeta=0.2\),\(K_d=1.5\))

图 5-68　系统开环对数频率特性(MATLAB)

(a) \(G(s)=\dfrac{\omega_n^2(1+K_ds)}{s(s+2\zeta\omega_n)}\)(\(\omega_n=1\),\(\zeta=0.2\),\(K_d=0.1\))　　(b) \(G(s)=\dfrac{\omega_n^2(1+K_ds)}{s(s+2\zeta\omega_n)}\)(\(\omega_n=1\),\(\zeta=0.2\),\(K_d=1.5\))

图 5-69　系统单位阶跃响应(MATLAB)

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