当 \(e<-2\) 时
\[\frac{\mathrm{d}\dot{e}}{\mathrm{d}e}=\frac{-\dot{e}+2}{\dot{e}}\]
无奇点,等倾线 \(\dot{e}=\dfrac{2}{1+\alpha}\) 是一簇平行于横轴的直线。在 \(\alpha=0\) 时,有 \(\dot{e}=2\)。
由于 \(c(0)=-3,\dot{c}(0)=0\),故
\[e(0)=r(0)-c(0)=1-(-3)=4\]
\[\dot{e}(0)=\dot{r}(0)-\dot{c}(0)=0\]
在 \(e-\dot{e}\) 相平面上,起始于 \((4,0)\) 的概略相轨迹如图8-98所示。
图8-98 系统概略相轨迹
8-35 设非线性系统如图8-99所示,其中非线性部分描述函数为
\[N(A)=-\frac{1}{A}e^{\mathrm{j}\frac{\pi}{6}}\]
试用描述函数法分析系统的自由运动,若有自振,求出自振振幅与频率。
解 线性部分的频率特性
\[G(\mathrm{j}\omega)=\frac{5}{\mathrm{j}\omega+4}=\frac{5}{\sqrt{16+\omega^2}}\angle{-\arctan\frac{\omega}{4}}\]
非线性部分的负倒描述函数
\[-\frac{1}{N(A)}=A\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\frac{\pi}{6}}\]
绘 \(G(\mathrm{j}\omega)\) 与 \(-1/N(A)\) 曲线,如图8-100所示。由图可知,\(G(\mathrm{j}\omega)\) 与 \(-1/N(A)\) 存在交点,故系统自由运动为稳定的自激振荡。
图8-99 非线性系统结构图
图8-100 系统稳定性分析
令
\[G(\mathrm{j}\omega)=-\frac{1}{N(A)}\]
由
\[-\arctan\frac{\omega}{4}=-\frac{\pi}{6}\]
求出自振频率 \(\omega=2.31\)。由
\[A=|G(\mathrm{j}2.31)|=\left.\frac{5}{\sqrt{16+\omega^2}}\right|_{\omega=2.31}=1.08\]
求出自振振幅 \(A=1.08\)。
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