4-31 某单位反馈系统的开环传递函数为 \(G(s)=\dfrac{K(s+a)}{s^2(s+1)}\)，\(K\) 从 \(0\to+\infty\)，当 \(a\) 取不同值时，系统的根轨迹亦不同。试分别确定使根轨迹具有一个、两个和没有实数分离点的 \(a\) 值范围，并作出根轨迹图。
解 系统的开环传递函数
\[G(s)=\dfrac{K(s+a)}{s^2(s+1)}\]
① 根轨迹的分支和起点与终点：由于 \(n=3,m=1,n-m=2\)，故根轨迹有三条分支，其起点分别为 \(p_1=0,p_2=0,p_3=-1\)，其终点分别为 \(z_1=-a\) 和无穷远处。
② 实轴上的根轨迹分布区：\([-a,-1]\)。
③ 根轨迹的渐近线：\(\sigma_a=\dfrac{a-1}{2}\)，\(\varphi_a=\pm\dfrac{\pi}{2}\)。
④ 根轨迹的分离点：根轨迹的分离点坐标满足
\[\dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{d+1}=\dfrac{1}{d+a}\]
即
\[2d^2+(3a+1)d+2a=0\]
解得
\[d_{1,2}=\dfrac{-(3a+1)\pm\sqrt{(a-1)(9a-1)}}{4}\]
欲使根轨迹具有实数分离点，首先须有
\[(a-1)(9a-1)\geqslant 0\]
即
\[a\geqslant 1 \quad \text{或} \quad a\leqslant 1/9\]
而且还须有
\[d_{1,2}=\dfrac{-(3a+1)\pm\sqrt{(a-1)(9a-1)}}{4}\in[-a,-1]\]
以下分情况讨论：
(1) 当 \(a>1\) 时，经计算可得
\[d_{1,2}=\dfrac{-(3a+1)\pm\sqrt{(a-1)(9a-1)}}{4}\notin[-a,-1]\]
即 \(a>1\) 时，系统根轨迹没有实数分离点，可作出此时系统的概略根轨迹图，如图 4-102 所示。
(2) 当 \(a=1\) 时，系统根轨迹没有实数分离点，可作出此时系统的概略根轨迹图，如图 4-103 所示。
(3) 当 \(1/9<a<1\) 时，系统根轨迹没有实数分离点，可作出此时系统的概略根轨迹图，如图 4-104 所示。
(4) 当 \(a=1/9\) 时，经计算可得
\[d=-\dfrac{1}{3}\]
即 \(a=1/9\) 时，系统根轨迹具有一个分离点，可作出此时系统的概略根轨迹图，如图 4-105 所示。
(5) 当 \(0<a<1/9\) 时，经计算可得
·193·