考研851 自动控制原理
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北方工业大学 《自控原理Ⅱ》水平测试卷

2014 年秋季

开课学院：机电　　考试方式：闭卷　　考试时间：110 分钟

班级：自11-3　　姓名：刘译友（手写，字迹辨认）　　学号：110010312

题号 一 二 三 四 五 六 评分 总分
得分
阅卷人

一、（15 分）

已知系统闭环传递函数

\[\Phi(s) = \dfrac{0.8}{s^2 + 2s\zeta + 1}；\]

当输入 \(r(t) = 5\sin t\) 时，系统稳态输出的最大幅值为 10。

(1) 确定系统传递函数中 \(\zeta\) 的值

(2) 当 \(r(t) = R_m \sin \alpha t\) 时，求系统稳态输出 \(y(t)\) （写出表达式即可）

手写解答

(1) 由 \(\Phi(s) \to \Phi(j\omega) = \dfrac{0.8}{2\zeta\omega j + 1 - \omega^2}\)

当 \(\omega = 1\) 时，\(|\Phi(j\omega)| = \dfrac{10}{5} = 2\) ，\(\therefore \dfrac{0.8}{2\zeta} = 2 \Rightarrow \zeta = 0.2\)

(2) \(y(t) = R_m|\Phi(j\omega)|\sin[\alpha t + \varphi(\omega)]\)

其中：\(|\Phi(j\omega)| = \dfrac{0.8}{\sqrt{(1-\alpha^2)^2 + (0.4\alpha)^2}}\)　　\(\Phi(j\omega) = \dfrac{0.8}{(-\omega^2 + 2\zeta\omega)}\)

\[\varphi(\omega) = -tg^{-1}\dfrac{2\zeta\omega}{1-\omega^2} = \begin{cases} -tg^{-1}\dfrac{0.4\alpha}{1-\alpha^2} & \alpha \le 1 \\ -180^\circ + tg^{-1}\dfrac{0.4\alpha}{\alpha^2-1} & \alpha \ge 1 \end{cases}\]

二、（20 分）

已知最小相位系统的开环渐近对数幅频特性曲线如下图所示，

(1) 求系统的开环传递函数；

(2) 计算稳定裕度判断稳定性；系统低频段、中频段、高频段分别是哪几段？

\(arctg0.1 = 5.7°\)　　\(arctg0.5 = 26.6°\)　　\(arctg1 = 45°\)　　\(arctg10 = 84.3°\)

(3) 如果期望系统的开环截止频率有所提高，同时相角裕度大于 30°，应该串联何种无源校正网络？写出校正网络的表达式，并解释参数的含义和取值范围（不用定量计算）。

图:客观索引

手写解答

(1)

\[G_K(s) = \dfrac{K}{s\left(\dfrac{s}{0.1}+1\right)\left(\dfrac{s}{10}+1\right)} = \dfrac{K}{s(10s+1)(0.1s+1)}\]

求K值　低频段：\(\dfrac{K}{s} \to 20\lg\left|\dfrac{K}{\omega}\right|_{\omega=0.1} = 40 \Rightarrow K = 10\)

(2) 低频段：\((0, 0.1)\)　　高频段：\((10, +\infty)\)

中频段：\((0.1, 10)\)

由图可知：\(\omega_c = 1\ \text{rad/s}\) （从40db下降十格　为0db）

\(\therefore \gamma = 180° + \angle G_K(j\omega) = 180° - 90° - tg^{-1}(10\times1) - tg^{-1}(0.1\times1)\)

\(= 180° - 90° - 84.3° - 5.7° = 0\)

真实Bode图位于渐近线下方 \(\therefore \gamma(\omega) < 0\) ，系统不稳定

(3) \(\because\) 要求 \(\omega_c' > \omega_c\) ，应用超前网络，可用

\[G_c(s) = \dfrac{\alpha Ts+1}{Ts+1}\]

其中 \(\alpha > 1\) 为校度参数，\(T\) 为时间常数