2. z 变换方法
1) 级数求和法
\[E(z)=\sum_{n=0}^{\infty}e(nT)z^{-n}=e(0)+e(T)z^{-1}+e(2T)z^{-2}+\cdots+e(nT)z^{-n}+\cdots\]
上式是离散时间函数 \(e^*(t)\) 的无穷级数表达形式。通常,对于常用函数 z 变换的级数形式,都可以写出其闭合形式。
2) 部分分式法
先求出已知连续时间函数 \(e(t)\) 的拉普拉斯变换 \(E(s)\),然后将有理分式函数 \(E(s)\) 展成部分分式之和的形式,使每一个部分分式对应简单的时间函数,其相应的 z 变换是已知的,于是可以查 z 变换表,方便地求出 \(E(s)\) 对应的 z 变换 \(E(z)\)。
常用时间函数的 z 变换表如表 1-3 所示。由表可见,这些函数的 z 变换都是 z 的真有理分式,且 \(E(z)\) 分母 z 多项式的最高次数与 \(E(s)\) 分母 s 多项式的最高次数相等。
表 1-3 z 变换表
| 序号 | 拉普拉斯变换 \(E(s)\) | 时间函数 \(e(t)\) | z 变换 \(E(z)\) |
|---|---|---|---|
| 1 | \(\mathrm{e}^{-snT}\) | \(\delta(t-nT)\) | \(z^{-n}\) |
| 2 | \(1\) | \(\delta(t)\) | \(1\) |
| 3 | \(\dfrac{1}{s}\) | \(1(t)\) | \(\dfrac{z}{z-1}\) |
| 4 | \(\dfrac{1}{s^2}\) | \(t\) | \(\dfrac{Tz}{(z-1)^2}\) |
| 5 | \(\dfrac{1}{s^3}\) | \(\dfrac{t^2}{2!}\) | \(\dfrac{T^2z(z+1)}{2(z-1)^3}\) |
| 6 | \(\dfrac{1}{s^4}\) | \(\dfrac{t^3}{3!}\) | \(\dfrac{T^3z(z^2+4z+1)}{6(z-1)^4}\) |
| 7 | \(\dfrac{1}{s-(1/T)\ln a}\) | \(a^{t/T}\) | \(\dfrac{z}{z-a}\) |
| 8 | \(\dfrac{1}{s+a}\) | \(\mathrm{e}^{-at}\) | \(\dfrac{z}{z-\mathrm{e}^{-aT}}\) |
| 9 | \(\dfrac{1}{(s+a)^2}\) | \(t\mathrm{e}^{-at}\) | \(\dfrac{Tz\mathrm{e}^{-aT}}{(z-\mathrm{e}^{-aT})^2}\) |
| 10 | \(\dfrac{1}{(s+a)^3}\) | \(\dfrac{1}{2}t^2\mathrm{e}^{-at}\) | \(\dfrac{T^2z\mathrm{e}^{-aT}}{2(z-\mathrm{e}^{-aT})^2}+\dfrac{T^2z\mathrm{e}^{-2aT}}{(z-\mathrm{e}^{-aT})^3}\) |
| 11 | \(\dfrac{a}{s(s+a)}\) | \(1-\mathrm{e}^{-at}\) | \(\dfrac{(1-\mathrm{e}^{-aT})z}{(z-1)(z-\mathrm{e}^{-aT})}\) |
| 12 | \(\dfrac{a}{s^2(s+a)}\) | \(t-\dfrac{1}{a}(1-\mathrm{e}^{-at})\) | \(\dfrac{Tz}{(z-1)^2}-\dfrac{(1-\mathrm{e}^{-aT})z}{a(z-1)(z-\mathrm{e}^{-aT})}\) |
| 13 | \(\dfrac{1}{(s+a)(s+b)(s+c)}\) | \(\dfrac{\mathrm{e}^{-at}}{(b-a)(c-a)}+\dfrac{\mathrm{e}^{-bt}}{(a-b)(c-b)}+\dfrac{\mathrm{e}^{-ct}}{(a-c)(b-c)}\) | \(\dfrac{z}{(b-a)(c-a)(z-\mathrm{e}^{-aT})}+\dfrac{z}{(a-b)(c-b)(z-\mathrm{e}^{-bT})}+\dfrac{z}{(a-c)(b-c)(z-\mathrm{e}^{-cT})}\) |
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