(2) 求 \(K\) 的取值范围、临界值及振荡频率。
显然，系统不是对所有的 \(K\) 均稳定。为求临界 \(K\) 及相应 \(\omega\)，由闭环特征方程
\[s^2+(K-1)s+K=0\]
知，系统临界 \(K=1\)，相应持续振荡频率 \(\omega=1\)，使系统稳定的 \(K\) 值范围为 \(K>1\)。
(3) 求 \(t_s=4\) 时的 \(K\) 及闭环极点。
\[t_s=\frac{3.5}{\zeta\omega_n}=4(\Delta=5\%)\]
\[\sigma=\zeta\omega_n=0.875\]
由根轨迹图上虚线三角形知
\[\omega_d^2=(\sqrt{2})^2-(1-\sigma)^2=1.984,\quad \omega_d=1.41\]
图 4-167 系统根轨迹图
故与 \(t_s=4\) 对应的闭环复根为
\[s_{1,2}=-0.875\pm j1.41\]
由模值条件，求出与 \(s_{1,2}\) 相应的 \(K\) 值为
\[K=\frac{\sqrt{\omega_d^2+(1+\sigma)^2}\times\sqrt{\omega_d^2+\sigma^2}}{\sqrt{2}}=2.75\]
4-53 设两个系统的结构图分别如图 4-168(a) 与 (b) 所示。要求：(1) \(K\) 从 \(0\to+\infty\) 时，绘制图 4-168(a) 所示系统的根轨迹图；(2) \(p\) 从 \(0\to\infty\) 时，绘制图 4-168(b) 所示系统的广义根轨迹图；(3) 确定 \(K\) 与 \(p\) 的值，以使两个系统的闭环极点相同。
(a)
(b)
图 4-168 系统结构图
解 (1) 绘制图 4-168(a) 系统的根轨迹图。
由图知
\[G(s)H(s)=\frac{K(s+1)}{s^2}\]
开环零、极点：\(z_1=-1,p_1=p_2=0\)
实轴上根轨迹：\([-1,-\infty)\)
分离点：由分离点方程
\[\frac{2}{d}=\frac{1}{d+1}\]
解出
\[d=-2\]
分离点处根轨迹增益：由模值条件得