图 3-63 初始状态为零时系统的输出响应曲线(MATLAB)
\[\Phi(s) = \frac{G(s)}{1+G(s)} = \frac{22}{s^2+4s+25}\]
当输入信号 \(r(t)=1(t)\)，即 \(R(s)=\dfrac{1}{s}\) 时
\[C(s) = \Phi(s)R(s) = \frac{22}{s(s^2+4s+25)}\]
根据终值定理可得
\[c(\infty) = \lim_{s \to 0} sC(s) = \lim_{s \to 0} s\frac{22}{s(s^2+4s+25)} = 0.88\]
又由系统的闭环传递函数可得系统自然频率和阻尼比为
\[\omega_n = 5, \qquad \zeta = 0.4\]
则系统的超调量为
\[\sigma\% = e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}} \times 100\% = 25.4\%\]
系统的输出最大值为
\[c_{\max} = c(\infty) \times (1+\sigma\%) = 1.1\]
故 \(r(t)=1(t)\) 时，\(c(t)\) 的最大值为 1.1，稳态值为 0.88。
(2) 当 \(r(t)=A\sin\omega t\) 时
\[|\Phi(j\omega)| = \left| \frac{22}{(25-\omega^2)+j4\omega} \right| = \frac{22}{\sqrt{(25-\omega^2)^2+16\omega^2}}\]
\[= \frac{22}{\sqrt{\omega^4-34\omega^2+625}} = \frac{22}{\sqrt{(\omega^2-17)^2+336}}\]
即当 \(\omega^2=17\) 时，系统稳态输出的振幅最大，该最大振幅为
\[A_{\max} = A \times \frac{22}{\sqrt{336}} = 1.2A\]
仿真结果如图 3-64 所示。
MATLAB 程序：exe359.m
numg=[22]; deng=[1 4 3]; numh=[1]; denh=[1];
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