\(\tau\),可使系统对输入 \(r(t)\) 的稳态误差为零。
证明 令 \(G_c(s)=1+\tau s\),则闭环传递函数
\[\Phi(s)=\dfrac{K(1+\tau s)}{s(Ts+1)+K}\]
图 3-85 系统结构图
闭环特征方程
\[Ts^2+s+K=0\]
显然,\(T>0\) 及 \(K>0\),故闭环系统稳定。
由题意
\[E(s)=R(s)-C(s)=\left[1-\dfrac{K(1+\tau s)}{s(Ts+1)+K}\right]R(s)\]
\[=\dfrac{s(Ts+1-K\tau)}{Ts^2+s+K}R(s)\]
\[R(s)=\dfrac{1}{s}+\dfrac{a}{s^2}=\dfrac{s+a}{s^2}\]
稳态误差
\[e_{ss}(\infty)=\lim_{s\to0}sE(s)=\lim_{s\to0}\dfrac{(Ts+1-K\tau)(s+a)}{Ts^2+s+K}\]
\[=\dfrac{a(1-K\tau)}{K}\]
若调节 \(\tau\),使 \(\tau=\dfrac{1}{K}\),必有 \(e_{ss}(\infty)=0\)。证毕。
3-72 设系统结构图如图 3-86 所示,误差定义为 \(E(s)=R(s)-C(s)\)。试确定参数 \(K_1\) 和 \(T_0\),使以下条件同时满足:(1) 在 \(r(t)=t\) 作用下无稳态误差;(2) 在 \(n(t)=t\) 作用下,稳态误差的绝对值不大于 0.05。
图 3-86 系统结构图
解 (1) 稳定性要求。
参数 \(K_1\) 和 \(T_0\) 的选择,首先应保证系统稳定。由图可知,令 \(N(s)=0\),系统在 \(R(s)\) 作用下的闭环传递函数为
\[\dfrac{C(s)}{R(s)}=\dfrac{10K_1(T_0s+1)}{s(s+5)(s+20)+10K_1}\]
若令 \(R(s)=0\),则系统在 \(N(s)\) 作用下的闭环传递函数为
\[\dfrac{C(s)}{N(s)}=\dfrac{s(s+5)(s+20)}{s(s+5)(s+20)+10K_1}\]
因而,闭环特征方程为
\[s^3+25s^2+100s+10K_1=0\]
其劳斯表如下: