\[
=\frac{\omega_c\left[(T_2^3-T_1^3)+2(T_1^2T_2^3-T_1^3T_2^2)\omega_c^2+(T_1^4T_2^3-T_1^3T_2^4)\omega_c^4\right]}{(1+T_1^2\omega_c^2)^2(1+T_2^2\omega_c^2)^2}
\]
\[
=\frac{(T_2-T_1)(T_1T_2)^{3/2}}{(T_1+T_2)^2}
\]
由于 \(T_1>T_2\),故
\[
\frac{\mathrm{d}^2\gamma}{\mathrm{d}\omega_c^2}<0
\]
即当 \(\omega_c=\dfrac{1}{\sqrt{T_1T_2}}\) 时,\(\gamma\) 取最大值。
再由
\[
|G(\mathrm{j}\omega_c)H(\mathrm{j}\omega_c)|=\left|\frac{K\sqrt{1+T_1^2\omega_c^2}}{\omega_c^2\sqrt{1+T_2^2\omega_c^2}}\right|_{\omega_c=\frac{1}{\sqrt{T_1T_2}}}=1
\]
解得
\[
K=\frac{1}{T_1\sqrt{T_1T_2}}
\]
故最大相角裕度为
\[
\gamma_{\max}=\arctan\sqrt{\frac{T_1}{T_2}}-\arctan\sqrt{\frac{T_2}{T_1}}=\arctan\frac{T_1-T_2}{2\sqrt{T_1T_2}}\quad(T_1>T_2>0)
\]
5-62 设系统结构图如图5-115(a)所示,其中 \(G(s)\) 有两个正实部的极点,三个为零的极点。当 \(G(s)\) 的增益 \(K=10\) 时,其幅相特性曲线如图5-115(b)所示,试求系统闭环稳定 \(K\) 值范围。
(a) 结构图 (b) 开环幅相特性曲线
图5-115 系统结构图和 \(G(s)\) 的幅相特性曲线
解 设系统的开环传递函数为
\[
G(s)=\frac{KG_0(s)}{s^3}
\]
其中,\(K\) 为开环增益,\(\lim\limits_{s\to0}G_0(s)=1\),\(G_0(s)\) 有两个正实部极点,即 \(P=2\)。取幅相特性曲线与负实轴的交点对应的穿越频率分别为 \(\omega_1,\omega_2,\omega_3\) 和 \(\omega_4\),且 \(\omega_4>\omega_3>\omega_2>\omega_1\)。因此,由图5-115可知
\[
G(\mathrm{j}\omega_1)=\frac{-10}{\omega_1^3}G_0(\mathrm{j}\omega_1)=-2,\quad G(\mathrm{j}\omega_2)=\frac{-10}{\omega_2^3}G_0(\mathrm{j}\omega_2)=-0.5
\]
\[
G(\mathrm{j}\omega_3)=\frac{-10}{\omega_3^3}G_0(\mathrm{j}\omega_3)=-1.5,\quad G(\mathrm{j}\omega_4)=\frac{-10}{\omega_4^3}G_0(\mathrm{j}\omega_4)=-0.3
\]
当 \(K\) 变化时,系统穿越频率 \(\omega_1,\omega_2,\omega_3\) 和 \(\omega_4\) 不变,仅是幅相特性曲线与负实轴的交点沿负实轴移动。假设当 \(K\) 分别为 \(K_1,K_2,K_3\) 和 \(K_4\) 时,幅相特性曲线与负实轴的交点