题海 · pdf-page · p.530
P 的顺序主子式为
\[\Delta_1 = 1 > 0, \quad \Delta_2 = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 1 > 0, \quad \Delta_3 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & a \end{vmatrix} = a - 5 > 0\]
因此使 \(V(x)\) 正定的条件是 \(a>5\)。
(2) 写出二次型函数的向量-矩阵形式
\[V(\boldsymbol{x}) = [x_1 \quad x_2 \quad x_3]\begin{bmatrix} a & 1 & -1 \\ 1 & b & -2 \\ -1 & -2 & c \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{P}\boldsymbol{x}\]
要求 P 的顺序主子式为
\[\Delta_1 = a > 0, \quad \Delta_2 = \begin{vmatrix} a & 1 \\ 1 & b \end{vmatrix} = ab - 1 > 0\]
\[\Delta_3 = \begin{vmatrix} a & 1 & -1 \\ 1 & b & -2 \\ -1 & -2 & c \end{vmatrix} = c(ab-1) - 4a - b + 4 > 0\]
因此使 \(V(x)\) 正定的条件是 \(a>0\)，\(ab>1\)，\(abc-4a-b-c>-4\)。
9-40 求下列各系统的平衡状态，并用李雅普诺夫方法判别系统在平衡状态处的稳定性：
(1) \(\dot{\boldsymbol{x}}(t) = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 3 & -4 \end{bmatrix}\boldsymbol{x}(t)\); (2) \(\boldsymbol{x}(k+1) = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 0 \\ -3 & -2 & -3 \\ 2 & 0 & 0 \end{bmatrix}\boldsymbol{x}(k)\);
(3) \(\boldsymbol{x}(k+1) = \begin{bmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 0 \end{bmatrix}\boldsymbol{x}(k)\)，其中 \(a\) 为系统参量。
解 (1) 由于系统的状态矩阵
\[\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 3 & -4 \end{bmatrix}, \quad \det\boldsymbol{A} = -2 \neq 0\]
即 A 是非奇异的，故原点 \(x_e=0\) 是该系统唯一的平衡状态。设系统的李雅普诺夫函数及其导数分别为 \(V(x)=x^{\mathrm{T}}Px\)，\(\dot{V}(x)=-x^{\mathrm{T}}Qx\)，\(P>0\)，\(Q>0\)，\(P^{\mathrm{T}}=P\)，则
\[\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{P} + \boldsymbol{P}\boldsymbol{A} = -\boldsymbol{Q}\]
取 \(Q=I\)，因此上式改写为
\[\begin{bmatrix} -1 & 3 \\ 2 & -4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} p_{11} & p_{12} \\ p_{12} & p_{22} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} p_{11} & p_{12} \\ p_{12} & p_{22} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 3 & -4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}\]
可得
\[\boldsymbol{P} = \begin{bmatrix} -1.15 & -0.55 \\ -0.55 & -0.15 \end{bmatrix}\]
由于矩阵 P 负定，故系统在平衡点 \(x_e=0\) 处非渐近稳定。另由于 A 的特征值为 \(\lambda_1=\)
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