由根轨迹的幅值条件可得

当闭环根位于分离点 \(d=-4.56\) 处，\(K^*=4.09\)；

当闭环根位于分离点 \(d=-0.377\) 处，\(K^*=4.98\)；

当闭环根位于原点处，\(K^*=2\)；

故若要求系统的闭环极点都为负实数，\(K^*\) 的范围为：\(2<K^*\leqslant4.09\)。

仿真曲线如图4-165、图4-166所示。

图4-165 \(1+\dfrac{K^*}{(s+1)(s+4)(s+5)(s-0.1)}=0\) 根轨迹图（MATLAB）

图4-166 根轨迹分离点信息

MATLAB程序：exe451.m

G=zpk([ ],[-1 -4 -5 0.1],1);　　figure，　　rlocus(G);

figure，　　rlocus(G);　　axis([-6 1 -3 3])

考研参考题

4-52 设单位反馈系统开环传递函数 \(G(s)=\dfrac{K(s+1)}{s(s-1)}\)，要求：(1) 画出系统以 \(K\) 为参数的根轨迹；(2) 问系统是否对所有的 \(K\) 都稳定？若不，求出系统稳定时 \(K\) 的取值范围，并求出引起持续振荡时 \(K\) 的临界值及振荡频率；(3) 由根轨迹图求使系统具有调节时间为 \(4s(\Delta=5\%)\) 时的 \(K\) 值及与此对应的复根值。

解 (1) 绘根轨迹图。

实轴上的根轨迹区域：\([0,1]\) 及 \([-1,-\infty]\)

分离点：由 \(\dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{d-1}=\dfrac{1}{d+1}\) 求得

系统复数根轨迹是以 \((-1,\mathrm{j}0)\) 为圆心，\(\sqrt{2}\) 为半径的一个圆。系统根轨迹图如图4-167所示。