考研851 自动控制原理
题海 · solution · p.334
\[G(s)=\dfrac{K^*(s+2)}{s(s-1)}\]

为了确定满足题意要求的 \(K\) 值,作系统根轨迹,其分离点坐标为

\[\dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{d-1}=\dfrac{1}{d+2}\]

经整理

\[d^2+4d-2=0\]

求得

\[d_1=0.45,\quad d_2=-4.45\]

系统根轨迹是一个以\((-2,\mathrm{j}0)\)为圆心,\(\sqrt{6}=2.45\)为半径的圆,如图 5-129 所示。

当 \(\zeta=0\) 时,根轨迹与虚轴相交,其对应 \(K_1^*\)

图:自控原理题海_p334_fig1

图 5-129 系统根轨迹图

求法如下:写出闭环特征方程

\[s^2+(K^*-1)s+2K^*=0\]

令 \(s=\mathrm{j}\omega\),有

\[(2K^*-\omega^2)+\mathrm{j}(K^*-1)\omega=0\]

令 \(2K^*-\omega^2=0\),得 \(\omega=\sqrt{2K^*}\),代入虚部,有

\[2K^*(K^*-1)^2=0\]

故 \(K_1^*=1\)。

当 \(\zeta=1\) 时,根轨迹在 \(d_2\) 处呈现重极点,由模值条件

\[K_2^*=\dfrac{5.45\times4.45}{2.45}=9.899\]

闭环系统为欠阻尼状态时,根轨迹增益

\[1<K^*<9.899\]

由开环传递函数 \(G(s)\) 知:开环增益 \(K=-2K^*\),因此,使闭环系统具有欠阻尼状态的 \(K\) 值范围为

\[-19.8<K<-2\]

(2) \(\zeta=0.707\) 时的 \(K\) 及 \(\sigma\%\) 和 \(t_s\)。

在图 5-129 上画 \(\zeta=\cos\beta=0.707\) 线,\(\beta=45°\),阻尼比线与根轨迹交于 \(s_1\) 点。由等腰直角三角形知,\(s_1\) 点坐标为 \(s_1=-x+\mathrm{j}x\);再由虚线构成的直角三角形,得

\[x^2+(x-2)^2=6\]

解得 \(x=1+\sqrt{2}=2.414\)。因此,\(\zeta=0.707\) 对应闭环极点 \(s_{1,2}=-2.414\pm\mathrm{j}2.414\)。其相应 \(K^*\) 可由模值条件算得

\[K^*=\dfrac{|s_1-1|\cdot|s_1-0|}{|s_1+2|}=\dfrac{\sqrt{3.414^2+2.414^2}\times\sqrt{2\times2.414^2}}{\sqrt{2.414^2+0.414^2}}=5.828\]

对应的系统开环增益

\[K=-2K^*=-11.656\]

超调量

\[\sigma\%=e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}\times100\%=4.3\%\]

其相应闭环特征方程

\[s^2+4.828s+11.656=0\]

因 \(2\zeta\omega_n=4.828\),\(\zeta\omega_n=2.414\),故调节时间

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