\[e_s(\infty)=\lim_{z\to1}(1-z^{-1})\Phi_e(z)R(z)=\frac{0.25}{0.25K}=\frac{1}{K}\]
由于要求 \(e_s(\infty)<0.5\)，则应有 \(K>2.0\)。显然，满足 \(e_s(\infty)<0.5\) 的 \(K\) 值为
\[2\leqslant K<2.472\]
(2) \(K\) 值范围。开环脉冲传递函数为
\[G(z)=\frac{0.25K}{z^2(z-1)}\]
开环系统在 \(z\) 域中，有两个 \(z=0\) 的极点和一个 \(z=1\) 的极点。由 \(|G(z)|=1\)，有
\[K=|4z^2(z-1)|\]
令 \(\mathrm{d}K/\mathrm{d}z=0\)，得 \(3z^2-2z=0\)，化简得
\[z_1=0,\quad z_2=0.67\]
故 \(z=0.67\) 为分离点，对应
\[K=|4z^2(z-1)|=0.5925\]
应用 MATLAB，可绘制根轨迹如图7-44所示。由图可知
\[0<K<0.5925,\qquad \text{系统过渡过程单调}\]
\[0.5925<K<2.472,\qquad \text{系统振荡衰减}\]
\[K>2.472,\qquad \text{系统发散}\]
图7-44 采样系统根轨迹(MATLAB)
取 \(K=0.5,1.0,2.5\)，可得系统单位阶跃响应如图7-45(a)、(b)、(c)所示。
MATLAB文本：exe733.m
T=0.25;t=0:0.25:10;
sys1=tf([0.25*0.5],[1,-1,0,0.25*0.5],T);
sys2=tf([0.25],[1,-1,0,0.25],T);
sys3=tf([0.25*2.5],[1,-1,0,0.25*2.5],T);
figure(1);step(sys1,t);grid;
figure(2);step(sys2,t);grid;
figure(3);step(sys3,t);grid;
7-34 采样系统结构图如图7-46所示，采样周期 \(T=0.1\)。要求：(1)求出系统的闭环脉冲传递函数 \(C(z)/R(z)\)；(2)确定使系统稳定的 \(K\) 值范围；(3)当 \(K=1\) 时，求出系统