利用下列 MATLAB 程序或根据表格可作出系统的相平面图,如图 8-8 所示。
MATLAB 程序:exe803a. m
t=0:0.01:5;
x01=[-8 0.95]';[t,x1]=ode45('sys803a',t,x01);
x02=[-2 0.95]';[t,x2]=ode45('sys803a',t,x02);
x03=[4 0.95]';[t,x3]=ode45('sys803a',t,x03);
x04=[-8 1.05]';[t,x4]=ode45('sys803a',t,x04);
x05=[-2 1.05]';[t,x5]=ode45('sys803a',t,x05);
x06=[4 1.05]';[t,x6]=ode45('sys803a',t,x06);
plot(x1(:,1),x1(:,2),x2(:,1),x2(:,2),x3(:,1),x3(:,2));hold on
plot(x4(:,1),x4(:,2),x5(:,1),x5(:,2),x6(:,1),x6(:,2));grid;axis([-10 10 -4 4])
调用函数:sys803a. m
function dx=sys803a(t,x)
dx1=x(2);
dx2=x(2)-1
dx=[dx1 dx2]';
(2) 将原方程改写为
\[
\begin{cases}
\ddot{x}+\dot{x}+x=0, & x \geqslant 0 \\
\ddot{x}+\dot{x}-x=0, & x<0
\end{cases}
\]
系统的特征方程为
\[
\begin{cases}
s^2+s+1=0, & x \geqslant 0 \\
s^2+s-1=0, & x<0
\end{cases}
\]
相应的特征根为
\[
s_{1,2}=-0.5\pm \mathrm{j}0.866 \quad (\text{稳定焦点}), \quad x \geqslant 0
\]
\[
s_3=-1.618, \quad s_4=0.618 \quad (\text{鞍点}), \quad x<0
\]
由于
\[
\ddot{x}=-\dot{x}-|x|
\]
\[
\frac{\mathrm{d}\dot{x}}{\mathrm{d}x}=-1-\frac{|x|}{\dot{x}}
\]
令 \(\dfrac{\mathrm{d}\dot{x}}{\mathrm{d}x}=\alpha\),得等倾线方程为
\[
\dot{x}=-\frac{1}{1+\alpha}|x|
\]
表 8-2 给出了不同 \(\alpha\) 值下等倾线的斜率。
表 8-2 不同 \(\alpha\) 值下等倾线的斜率
| \(\alpha\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(\infty\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(-\dfrac{1}{1+\alpha}\) | \(\dfrac{1}{2}\) | \(1\) | \(\infty\) | \(-1\) | \(-\dfrac{1}{2}\) | \(-\dfrac{1}{3}\) | \(0\) |
图 8-8 系统(1)的相轨迹(MATLAB)
利用下列 MATLAB 程序或根据表格可作出系统的相平面图,如图 8-9 所示。
MATLAB 程序:exe803b. m
t=0:0.01:10;
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