num1=[1 1];        den1=[1 -1];        num2=[1];        den2=[1 6 1];
[num, den]=series(num1, den1, num2, den2);        [p z]=pzmap(num, den);
figure,        rlocus(num,den);        axis([-8,3,-12,12]);
figure,        rlocus(num,den);        axis([-3,3,-5,5]);

图 4-82 \(1+\dfrac{K(s+1)}{(s-1)(s^2+6s+1)}=0\)

根轨迹图(MATLAB)

图 4-83 根轨迹分离点及与虚轴交点的信息

4-27 设系统如图 4-84 所示,试根据根轨迹确定闭环系统稳定时增益 \(K_1\) 和 \(K_2\) 的区域(\(K_1\geqslant0\),\(K_2\geqslant0\))。

(a)

(b)

图 4-84 控制系统结构图

解 (1) 图 4-84(a)控制系统。

开环传递函数

其中,\(K^*=K_2\)。

实轴上的根轨迹分布区:\([0,-1]\),\([-3,-(K_1+K_2)/K_2]\)。

由于 \(K_1\geqslant0,K_2\geqslant0\),故 \(-(K_1+K_2)/K_2<-1\),分两种情况讨论:

1) \(-3<-(K_1+K_2)/K_2<-1\) 时取 \(K_1=K_2\),即 \(-(K_1+K_2)/K_2=-2\)。

① 根轨迹的渐近线:\(\sigma_a=\dfrac{0-1-3+2}{2}=-1\),\(\varphi_a=\pm\dfrac{\pi}{2}\)。

② 根轨迹的分离点:根轨迹的分离点坐标满足

$\(\frac{1}{d}+\frac{1}{d+1}+\frac{1}{d+3}=\frac{1}{d+2}\)$