解 (1) 求 \(\zeta\) 及 \(\omega_n\)。
系统闭环传递函数为
\[\Phi(s)=\frac{K}{Ts^2+s+K}=\frac{K/T}{s^2+\dfrac{s}{T}+\dfrac{K}{T}}=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2}\]
于是有
\[\omega_n^2=\frac{K}{T},\qquad 2\zeta\omega_n=\frac{1}{T}\]
系统闭环频率特性为
\[\Phi(\mathrm{j}\omega)=\frac{K}{(K-T\omega^2)+\mathrm{j}\omega}\]
\[|\Phi(\mathrm{j}\omega)|=\frac{K}{\sqrt{(K-T\omega^2)^2+\omega^2}},\qquad \angle\Phi(\mathrm{j}\omega)=-\arctan\frac{\omega}{K-T\omega^2}\]
由题意知 \(c(t)=|\Phi(\mathrm{j}10)|\sin[10t+\angle\Phi(\mathrm{j}10)]=\sin(10t-90°)\)
因而
\[|\Phi(\mathrm{j}10)|=1,\qquad K^2=(K-100T)^2+100\]
\[\angle\Phi(\mathrm{j}10)=-90°,\qquad \arctan\frac{10}{K-100T}=90°,\qquad K=100T\]
联立求解得：\(K=10,T=0.1\)。从而
\[\omega_n=\sqrt{\frac{K}{T}}=10,\qquad \zeta=\frac{1}{2\omega_n T}=0.5\]
(2) 求 \(\sigma\%\) 及 \(t_s\)。
该系统为无零点二阶系统，故有
\[\sigma\%=100\mathrm{e}^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}\%=16.3\%\]
\[t_s=\frac{3.5}{\zeta\omega_n}=0.7\]
5-69 设系统开环传递函数为 \(G(s)=\dfrac{K(0.33s+1)}{s(s-1)}\)，\(K=6\)，要求：(1) 画出系统的奈奎斯特图，并判断单位反馈下闭环系统的稳定性；(2) 讨论 \(K\) 减小对闭环系统稳定性的影响，并计算临界稳定时的 \(K\) 值。
解 (1) 绘奈奎斯特图。
开环系统频率特性为
\[G(\mathrm{j}\omega)=\frac{K(0.33\mathrm{j}\omega+1)}{\mathrm{j}\omega(\mathrm{j}\omega-1)}=-\frac{1.33K}{1+\omega^2}+\mathrm{j}\frac{K(1-0.33\omega^2)}{\omega(1+\omega^2)}\]
当 \(K=6\) 时，有
\[G(\mathrm{j}\omega)=-\frac{8}{1+\omega^2}+\mathrm{j}\frac{6-2\omega^2}{\omega(1+\omega^2)}\]
令穿越频率为 \(\omega_x\)，并令
\[\mathrm{Im}\,G(\mathrm{j}\omega_x)=\frac{6-2\omega_x^2}{\omega_x(1+\omega_x^2)}=0\]