于是
\[\omega_x=\sqrt{3}\]
相应地
\[\mathrm{Re}\,G(\mathrm{j}\omega_x)=-\frac{8}{1+\omega_x^2}=-2\]
由于
\[\omega=0^+\text{时},G(\mathrm{j}\omega)=-8+\mathrm{j}\infty\]
\[\omega\to\infty\text{时},G(\mathrm{j}\omega)=0\angle-90^\circ\]
故奈奎斯特图大致如图5-127所示。
图5-127 奈奎斯特图
因\(P=1\),由图5-127知:
\[N_+=1,\quad N_-=\frac{1}{2}\]
\[N=N_+-N_-=\frac{1}{2},\quad Z=P-2N=0\]
故闭环系统稳定。
(2)分析\(K\)减小对稳定性影响并求临界\(K\)。
当\(K\)减小时,整个奈氏曲线右移,系统稳定性减弱;当\(K\)减小到一定值时,闭环系统由稳定变为临界稳定。
由于\(\omega_x=\sqrt{3}\)与\(K\)无关,故令
\[\mathrm{Re}\,G(\mathrm{j}\omega_x)=-\frac{1.33K}{1+\omega_x^2}=-1\]
于是求得系统临界稳定时
\[K=\frac{4}{1.33}=3\]
5-70 设有某Ⅰ型单位反馈的典型欠阻尼二阶系统,当输入正弦信号\(r(t)=\sin\omega t\),并调整频率\(\omega=7.07\)时,系统稳态输出幅值达到最大值\(1.1547\)。要求:(1)计算系统的动态性能指标\(\sigma\%\)和\(t_s(\Delta=5\%)\);(2)求系统的截止频率\(\omega_c\)和相角裕度\(\gamma\);(3)计算系统的速度稳态误差\(e_{ss}(\infty)\)。
(注:典型欠阻尼二阶系统的谐振频率为\(\omega_r=\omega_n\sqrt{1-2\zeta^2}\),谐振峰值\(M_r=\dfrac{1}{2\zeta\sqrt{1-\zeta^2}}\)。)
解 (1)求\(\sigma\%\)和\(t_s\)。
由题意,系统开环传递函数为。
\[G(s)=\frac{\omega_n^2}{s(s+2\zeta\omega_n)}=\frac{\omega_n/(2\zeta)}{s(s/(2\zeta\omega_n)+1)}\]
系统闭环传递函数为
\[\Phi(s)=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2}=M(\omega)\mathrm{e}^{\mathrm{j}\alpha(\omega)}\]
由于输入正弦信号的振幅为1,故当输出幅值最大时,\(M(\omega)=M_r,\omega=\omega_r\),所以
\[M_r=1.1547,\quad \omega_r=7.07\]
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