\[e_{ss}(\infty)=e_{ssr}(\infty)+e_{ssn}(\infty)=\dfrac{r_0-K_1f_0}{1+K_2}\]
3-38 设前馈控制系统如图3-31所示，定义 \(e(t)=r(t)-c(t)\)。若输入信号 \(r(t)\) 和扰动 \(n(t)\) 都是单位斜坡函数，且 \(K>0\)，\(T>0\)，要求：(1) 计算 \(K_d=0\) 时系统的稳态误差 \(e_{ss}(\infty)\)；(2) 选择 \(K_d\) 值，使系统稳态输出 \(c(t)\) 与希望输出 \(r(t)\) 之间不存在稳态误差。
图3-31 前馈控制系统结构图
解 (1) \(K_d=0\) 时系统的稳态误差。
当 \(K_d=0,n(t)=0,r(t)=t\)，即 \(R(s)=\dfrac{1}{s^2}\) 时，系统的闭环传递函数为
\[\Phi_r(s)=\dfrac{K}{Ts^2+s+K}\]
由于 \(K>0\) 且 \(T>0\)，故闭环系统是稳定的。
误差函数
\[E_r(s)=R(s)-C(s)=R(s)[1-\Phi_r(s)]=\dfrac{Ts^2+s}{Ts^2+s+K}R(s)\]
用终值定理来求解系统的稳态误差，有
\[e_{ssr}(\infty)=\lim_{s\to0}sE_r(s)=\lim_{s\to0}s\cdot\dfrac{Ts^2+s}{Ts^2+s+K}\cdot\dfrac{1}{s^2}=\dfrac{1}{K}\]
当 \(K_d=0,r(t)=0,n(t)=t\)，即 \(N(s)=\dfrac{1}{s^2}\) 时，系统的闭环传递函数为
\[\Phi_n(s)=\dfrac{K_fs(Ts+1)}{(T_fs+1)(Ts^2+s+K)}\]
误差函数
\[E_n(s)=R(s)-C(s)=-N(s)\Phi_n(s)=-\dfrac{K_fs(Ts+1)}{(T_fs+1)(Ts^2+s+K)}N(s)\]
用终值定理来求解系统的稳态误差，有
\[e_{ssn}(\infty)=\lim_{s\to0}sE_n(s)=-\lim_{s\to0}s\cdot\dfrac{K_fs(Ts+1)}{(T_fs+1)(Ts^2+s+K)}\cdot\dfrac{1}{s^2}=-\dfrac{K_f}{K}\]
故当 \(K_d=0,r(t)=t,n(t)=t\) 时，系统的稳态误差为
\[e_{ss}(\infty)=e_{ssr}(\infty)+e_{ssn}(\infty)=\dfrac{1-K_f}{K}\]
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