课件
第7章 线性离散系统
自动化系
电控学院自动化系
===== 幻灯片 2 =====
控制系统中有一处或多处信号是脉冲序列或数字信
号的系统称为离散系统。以数字计算机为中心的工业控
制系统大多属于离散系统。
用Z变换法研究离散系统，可以把连续系统中的许
多概念和方法，推广应用于线性离散系统。
本章重点关注离散系统在系统描述、系统时域、频
域分析和设计方法和所采用的数学工具方面与连续系统
不同的特点，以达到分析设计离散系统的目的。
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7.1 基本概念
7.2 信号采样与保持
7.3 Z变换
7.4 脉冲传递函数
7.5 离散系统稳态特性
7.6 离散系统暂态特性
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离散信号：脉冲序列和数字信号统称为离散信号。
离散系统：控制系统中有一处或多处信号是脉冲序列或数
字信号的系统称为离散系统
采样/脉冲控制系统: 离散信号是脉冲序列形式的离散系统
数字控制系统：离散信号是数字序列形式的离散系统
===== 幻灯片 5 =====
例:炉温连续控制系统
K大,灵敏
K小,有死区,
误差大
大惯性
滞后特性
无法解决控制精度与
炉温连续控制系统原理图
动态性能之间的矛盾
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数秒、数十秒 T数千秒以上
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炉温采样控制系统原理图p306
在采样控制系统中，电动机时停时转，调节过程中超调
量大为减小，而且在采用大开环增益情况下，不但能保
证稳定，而且使炉温调节过程无超调。
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（1）周期性的测量误差信号，即定时采样
误差信号的“样品”。
（2）作用于放大器和电动机上的信号不是
连续的，形成一串脉冲。
（3）脉冲的持续时间比间歇时间短的多
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以数字计算机为控制器去控制具有
连续工作状态的被控对象。
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扰动
r(t) e*(t) U(kT) U*(t) U(t) 被控量
计算机 D/A 保持器 对象 C(t)
-
T
检测 A/D
采样
离散 连续
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采样控制系统其控制对象本身是连续信号。
采样信号在整个实轴上取值，其定义域为一维数集；
离散信号在实轴上取正整数，其定义域为孤立的点集。
采样信号是连续信号经采样后人为得到的，其周期可
视实际需要而定，本章默认为同步等周期采样。
可以有周期采样和随机的非周期采样。
采样系统的分析与设计是按离散系统的方法来处理，
故常把它归结为离散系统。
7.1 离散系统概述
===== 幻灯片 13 =====
采用Z 变换法，建立离散系统的数学模型
用Z 变换法研究离散系统，可以把连续系统中的许多概
念和方法，推广应用于线性离散系统。
本章重点关注离散系统在信号描述、系统分析方法
和所采用的数学工具方面与连续系统不同的特点。
===== 幻灯片 14 =====
一. 采样过程
采样：在采样控制系统中，把连续信号转变为脉冲序
列的过程称为采样。实现采样的装置称为采样器。或
称为采样开关 。
e(t) e *(t)
( ) T
采样器可用一个理想采样器来代替，采样过程可看成
是一个幅值调制过程，采样器是一个载波为 T (t ) 的
调制器。
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采样开关 e*(t)
T
t t
T
远小于采样周期T和连续部分时间常数，认为 0
* *
e (t ) e(t ) (t nT ) e (t ) e( nT ) (t nT )
n 0 n 0
e(t ) 0 (t 0)
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e *(t) e(nT)δ(t nT) e(t)的数值仅在
n 0 采样时刻有意义
e(t)
0 t
理想脉冲序列 T (t ) (t ) (t T ) (t 2T ) (t nT )
n0
T (t )
e * (t ) e(t ) T (t ) e(t ) (t nT )
n 0
t
e (t ) (t ) e ( t ) (t T )
0 T 3T 5T 7T
e(t ) (t nT )
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(1)采样信号的拉氏变换
E * ( s ) L[e * (t )] L[ e(nT ) (t nT )]
n0
拉氏变换的位移定理 L[f(t τ)] eτsF(s)
L[ (t nT )] e nTs (t )e st dt e nTs
采样信号的拉氏变换
E ( s ) e(nT )e nTs
*
n0
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*
e (t ) e( nT ) (t nT )
(2)用频谱函数描述信号 n 0
采样信号的信息并不等于连续信号的全部信息，所以
采样信号的频谱与连续信号的频谱相比要发生变化
s 2 / T
脉冲序列可展开为如下傅氏级
数 n 1 T /2 jn t 1
jn s t cn T (t )e dt s
T (t ) Cn e T T / 2 T
n
1 n jn t
T (t ) e s
T n
1
* 1 jns t
*
E ( s ) E ( s jns ) e (t ) e(t )e
T n T n
7.1 离散系统概述
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若 E * ( s) 没有右半S平面的极点，则可令 s j ，
得到采样信号的傅氏变换：
1
E * ( j ) E[ j ( n s )]
T n
|E(j)| |E*(j)|
1
-n n - s - n n s
2 2
*
连续信号的频谱 E ( j ) 采样信号e (t ) 的频谱 |E* (j )
n 连续信号的最大角频率 s 2n
7.1 离散系统概述
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采样定理：如果f(t)是一个有限带宽的信号，即该信号的
频率分量具有某个最高频率 h (rad/s),若以 s 2h 的
的 采样 频率 对f(t)采样， 则f(t)可以唯一的由其样本值
f(kT) (k=0,1,2, …)确定。或
1 2
T fh
2 fh h
采样定理只给出了选择采样周期T或采样频率fs的
指导性原则。即最大采样周期或最小采样频率。工
业过程 T的选择见P316
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*
E(j)
0
采样信号频谱(sm)
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离散时间信号转换为连续时间信号.
它在一个采样间隔内能保持采样瞬刻的值不变，并以此作为其输
出f（t ）。用具有外推功能的元件实现。
零阶保持器：按常值外推的保持器
e( nT t ) e( nT ) (0 t T )
作用:把一个脉冲输入在一个采样周期内保持常值.
1
(t )
零阶保持器
0 T
===== 幻灯片 23 =====
1
g h (t ) 1(t ) 1(t T )
1 1 Ts 1 e Ts
G h(s) e T
s s s
0
令 s j
1 e jT
G h(j ) Gh ( j ) Gh ( j ) -1
j
T
sin
2 Ts
Gh ( j ) T Gh ( j )
T 2
2
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ZOH的特点:
|Gn(j)|
•低通特性
T
•相角滞后
•时间滞后
s s s
-
Gn(j)
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为了研究离散系统的性能，需要建立离散系统的数学
模型。与连续系统相似，离散系统的数学模型有：
差分方程
脉冲传递函数
离散空间表达式
本节主要内容：
Z 变换复习
离散系统的脉冲传递函数
7.2 离散系统数学模型
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Z变换可以将差分方程变成代数方程，使其求解
简便。它是从拉氏变换直接引申出来的一种变换方法。
１．Z变换定义
E * ( s) e( nT )e nTs
sT n 0
令 ze
E(z) E (S) s 1 lnz e(nT)z n
*
T n 0
e(0) e(T)z -1 e(2T)z -2 e(3T)z -3 ....
注意只能取采样
记作 E(z) Z[e *(t)] Z[e(t)] 信号的Z变换
Z变换仅是一种在采样拉氏变换中取 z e sT 的变量置换
===== 幻灯片 27 =====
（１）级数求和法（直接根据Z变换的定义）
F ( z ) f (0) f (T ) z 1 f (2T ) z 2
例1：求单位阶跃函数的Z变换
例2: 求理想脉冲序列的z变换
（２）部分分式法
先求出f(t)的拉氏变换F(s)，然后将有理分式函数F(s)变成部分分
式之和的形式，每一部分分式对应简单的时间函数，其对应的Z变
换是已知的，于是可方便的求出F(s)对应的F(z)．P299
a
例：已知 F(s) 求其z变换
s(s a)
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A. 线性定理
Z [af (t )] aZ [ f (t )] aF ( z )
Z [ f1 (t ) f 2 (t )] F1 ( z ) F2 ( z )
B. 平移定理：迟后定理和超前定理
Z [ f (t kT )] z k F ( z )
k 1
Z [ f (t kT )] z [ F ( z ) F (mT ) z m ]
k
m 0
k
若f(0)=f(T)=…f[(k-1)T]=0 则 Z [ f (t kT )] z F ( z )
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C. 复数位移定理
Z [ f (t )e aT ] F ( ze aT ) 例
D 初值定理
f(t)→F(z) 且 lim F ( z )
z
存在则
f (0) lim F ( z )
z
E 终值定理
f () lim f ( kT ) lim f (t ) lim( z 1) F ( z )
k t z 1
===== 幻灯片 30 =====
已知F(z)求相应离散序列f(nT)的过程
记作 f (nT ) Z 1[ F ( z )]
Z 反变换
（1）部分分式法
将F(z)/z展开成部分分式和的形式。例
（2）幂级数法（长除法）
•分子、分母按 z 1 的升幂排列
的升幂排列 。例
1
•用分子除以分母，并将商按 z
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（１）z变换的非唯一性
具有相同z变换式的两个时间函数
7.2 离散系统数学模型
===== 幻灯片 32 =====
（２）Z变换的收敛区间
E(z) e(nT)z n
若e(nT ) a 1(nT )
n
n 0
a n
E(z) a z ( )
n n
n 0 n 0 z
当z a 无穷级数收敛
z
E(z)
za
===== 幻灯片 33 =====
（２）Z变换的收敛区间
大多数工程问题的z变换都存在
7.2 离散系统数学模型
===== 幻灯片 34 =====
差分：连续函数 e(t ) ,采样后为 e(kT ) ,令 T 1
一阶前向差分： e(k ) e( k 1) e(k )
一阶后向差分： e( k ) e(k ) e( k 1)
对于一般的线性定常离散系统，k 时刻的输出
不但与 k 时刻的输入有关，而且与 k 时刻以前
r (k 2) …有关，同时还与 k 时刻
的输入r (k 1) ，
以前的输出 c(k 1), c(k 2) …有关。
c(k ) a1c(k 1) a2 c(k 2) .... an1c(k n 1) an c(k n)
b0 r (k ) b1r (k 1) ... bm1r (k m 1) bm r (k m)
7.2 离散系统数学模型
===== 幻灯片 35 =====
线性定常离散系统
c(k ) a1c( k 1) a2 c(k 2) an c( k n) b0 r ( k ) b1r (k 1)
bm 1r (k m 1) bm r (k m)
ai常数 m≤n 称为n阶后向线性常系数差分方程
解法（1） 迭代法
（２） Z变换法
例：用Z变换法解下列差分方程
c* (t 2T ) 3c* (t T ) 2c* (t ) 0
已知 c ( 0) 0 c(1) 1
===== 幻灯片 36 =====
1 定义
在零初始条件下，输出采样信号与输入采样信号的Z
变换之比
零初始条件 t 0时，c( T ) c(2T ) c(3T )..... 0
r (T ) r ( 2T ) r (3T ) ... 0
n
c(nT)z
C(z) n 0
G(z)
R(z) n
r(nT)z
n 0
开环离散系统
注意：脉冲传递函数是在两个采样开关之间定义的
===== 幻灯片 37 =====
c * (t ) Z 1[C ( z )] Z 1[G ( z ) R( z )]
对大多数实际系统，其输出往往是连续信号c(t)而不是采样信号c*(t),
在这种情况下可以在输出端虚设一个采样开关，它与输入开关同步
工作，并具有相同的采样周期.
虚设的采样开关是不存在的，仅表明脉冲传函所能描述
的是输出连续函数c(t)在采样时刻上的离散值c*(t)
===== 幻灯片 38 =====
如果输入为单位序列：
1, n0
r (nT ) (nT )
0, n0
系统输出称为单位脉冲响应序列：
c(nT ) K (nT )
任何一个采样序列都可以认为是被加了“权”的脉冲序列
脉冲传函的含义：脉冲传递函数G(z)就等于系统加权序
列K(nT)的z变换.
G ( z ) K ( z ) K ( nT ) z n
n 0
===== 幻灯片 39 =====
连续系统或元件的 G (z ) 可由 G (s) 求得
已知系统传函， 经拉氏反变换求出
1
g (t ) L [G ( s )]
*
对 g (t ) 采样，得 g (t )
对 g *
(t ) 进行 z 变换，得 G (z )
实际求时可直接由G(s)求G(z).
举例：
===== 幻灯片 40 =====
(1)采样函数的拉氏变换具有周期性
G * ( s) G * ( s jks )
s 为采样角频率
(2)若采样函数的拉氏变换与连续函数的拉氏变换相
乘后再离散化，则相当于两部分离散化脉冲传函的
乘积。
[G ( s ) E * ( s )]* G * ( s ) E * ( s )
===== 幻灯片 41 =====
只有采样开关之间方可定义脉冲传函
（１）串联问题
连续系统中，串联环节的传函等于各环节传函的乘积
采样系统中，等效传函则与环节之间有无采样开关有关。
见例
串联环节之间有采样开关时，脉冲传函等于各环
节脉冲传函的乘积。
串联环节之间无采样开关时，脉冲传函等于各环节传
函乘积采样后的 Z变换。
===== 幻灯片 42 =====
7.2 离散系统数学模型
===== 幻灯片 43 =====
G(z) G1 ( z )G2 ( z )
7.2 离散系统数学模型
===== 幻灯片 44 =====
Gh (s) 为零阶保持器的传函
G p (s ) 为连续部分传函
C(z) 1 G p(s)
G(z) (1 z )Z[ ]
R(z) s
例
===== 幻灯片 45 =====
采样器在闭环系统中可以有多种配置的可能，所以闭
环离散系统没有唯一的结构形式。
例1
误差采样闭环离散系统结构图
C ( z) G( z) E ( z) 1
( z) e ( z)
R ( z ) 1 HG ( z ) R( z ) 1 HG ( z )
===== 幻灯片 46 =====
C ( z) G1 ( z )G2 ( z )
( z )
R( z ) 1 G1 ( z ) HG2 ( z )
===== 幻灯片 47 =====
c*(t)
r(t) e(t) c(t)
+ G(s)
R(s) E(S)
-
c*(t)
H(s)
C(s)
RG * ( s ) RG ( Z )
C * ( s) C (Z )
1 HG * ( s ) 1 HG ( Z )
p319
只要误差e(t)信号处没有采样开关,输入采样信号便不存在，
闭环系统的脉冲传递函数就不可求得， 只能求出 C (z )
===== 幻灯片 48 =====
一.采样系统的稳定性:
1. S平面到Z平面的映射
令 s j T为采样周期
z e sT
z e ( j )T eT e jT | z | e j
T
| z | e T
S平面虚轴 0 不稳定区
Z平面单位园 | z | 1 稳 不
稳 -1 稳定区 1
定
区 定
S左半平面 0 Z园内 | z | 1 区
S右半平面 0 Z园外 | z | 1
S平面 Z平面
===== 幻灯片 49 =====
映射为z平面上的同心圆
sT ( j )T T jT
ze e e e z z
7.4 离散系统动态特性
===== 幻灯片 50 =====
映射为从原点出发的射线。
j
s T
T
s
T T
s
sT ( j )T T j T
ze e e e z z
7.4 离散系统动态特性
===== 幻灯片 51 =====
映射为z平面上收敛的对数螺线。起点为z=1，终点为
平面原点。
sT ( tg j )T
ze e
7.4 离散系统动态特性
===== 幻灯片 52 =====
及单位园内
2
0 s 采样角频率
T s 2
s
当 0 0 T
4 4 s 2
s 2
s / 2; T
2 s
3
3s 2 3 次要带 s
3s / 4; T 2
s / 2
4 s 2
2 主要带
s ; T s 2 s / 2
s
次要带 3
s
Z平面上的点逆时针旋转一圈 2
从 ~ 变化， Z平面上的点沿逆时针旋转无穷圈
===== 幻灯片 53 =====
典型离散系统结构图
C (Z ) G( Z )
闭环脉冲传函 (Z )
R( Z ) 1 GH ( Z )
特征方程 D( z ) 1 GH ( Z ) 0 z j 闭环特征根
zj 1 稳定 zj 1 不稳定 z j 1 临界稳定
采样系统稳定的充要条件是：
系统的特征根必须全部位于z平面的单位圆内。
或：所有特征根的模均小于1。
===== 幻灯片 54 =====
三 稳定性判据
离散系统是以单位圆为边界，不是虚轴，不能直接引用劳斯判据。
双线性变换：
使Z平面的单位圆映射为另一复数平面的虚轴
w 1 z 1
z w
w 1 z 1
z x jy w u jv
x jy 1 ( x 2 y 2 ) 1 2y
w u jv 2 2
j
x jy 1 ( x 1) y ( x 1) 2 y 2
只要进行了双线性变换，就可以在w平面内直接
使用劳斯判据 例1
===== 幻灯片 55 =====
单位反馈闭环离散系统，其开环传函如下图
采样周期T=0.1s, 求系统稳定时的K的临界值.
===== 幻灯片 56 =====
直接在z域内应用。
根据闭环特征方程的系数，判别其根是否在z平面单位
园内。
构造 2n 3行 ，n 1 列朱利阵列 ， 见p352
采样周期和开环增益对稳定性的影响
T一定时，加大K, 会使系统稳定性降低， 乃至不稳定。
K一定时，采样周期T越长，丢失系统信息越多，对稳
定性和动态特性均不利
===== 幻灯片 57 =====
连续系统中，稳态误差与系统型次和输入信号有关；
离散系统类似。
离散系统的误差传递函数要根据闭环系统的具体情况
求解，用终值定理求得稳态误差。
e() lim e* (t )
t
R( z )
lim( z 1) E ( z ) lim( z 1)
z 1 z 1 1 G( z)
lim(1 z 1 ) E ( z )
z 1
===== 幻灯片 58 =====
已知 单位反馈系统G(s)=1/s(0.1s+1),T=0.1s,
r(t)=1(t)、r(t)=t，试求离散系统的稳态误差。
===== 幻灯片 59 =====
开环脉冲传递函数G(z)含有的z=1极点数
0 0型系统
1 Ⅰ型系统
2 Ⅱ型系统
===== 幻灯片 60 =====
z
1 输入单位阶跃函数时：r(t)=1(t) R( z )
1 z 1 z 1
e() lim( z 1) lim
Z 1 1 G ( z ) z 1 Z 1 1 G ( z )
1
K p lim[1 G ( z )] e() Kp 静态位置误差系数
z 1 kp
当G(Z)具有一个以上z=1的极点时
Kp e( ) 0
0型系统 Kp e( ) 0
在阶跃作用下，0型离散系统在采样瞬时存在位置误
差.Ⅰ型及Ⅰ型以上的系统在采样瞬时没有位置误差
===== 幻灯片 61 =====
Tz
R( z )
( z 1) 2
1 Tz T
e() lim( z 1) lim
z 1 1 G ( z ) ( z 1) 2 z 1 ( z 1)[1 G ( z )]
T
K v lim ( z 1)G ( z ) e()
z 1 Kv
0 Kv 0 e()
1 K v 有限值 e( ) 0
2 Kv e( ) 0
0型不能跟踪单位斜坡作用. Ⅰ型离散系统在采样瞬时存在
位置误差. Ⅱ型及以上的系统在采样瞬时没有位置误差
===== 幻灯片 62 =====
3.输入为单位加速度时 r (t ) t
2
T 2 z ( z 1)
R( z )
2( z 1) 3
1 T 2 z ( z 1) T2
e() lim( z 1) 3
lim
z 1 1 G ( z ) 2( z 1) z 1 ( z 1) 2 G ( z )
2
T
K a lim( z 1) 2 G ( z ) e() K
Z 1 a
2 K a 有限值 e( ) 0
3 Ka e( ) 0
0型 Ⅰ型不能跟踪单位加速度作用. Ⅱ型离散系统在采样
瞬时存在位置误差. Ⅲ型及以上的系统在采样瞬时没有位
置误差
===== 幻灯片 63 =====
输入信号形式有关
G ( z )中z 1的极点数有关
采样周期 T有关，T e()
===== 幻灯片 64 =====
系统
位置误差 速度误差 加速度误差
类型 r(t)=1(t) r(t)=t r(t)=1/2t2
0型 1/Kp ∞ ∞
Ⅰ型 0 T/Kv ∞
Ⅱ型 0 0 T2/Ka
===== 幻灯片 65 =====
一 离散系统的时间响应：
作动态性能分析时，一般假设外部输入为阶跃信号。
此时：
C ( z) z
( z ) R( z )
R( z ) z 1
z
C ( z) ( z)
z 1
1 *
对其作 z 变换 c (t )
7.4 离散系统动态特性
===== 幻灯片 66 =====
响应表达式
n
n
c(nT ) 稳态值 C k Pk
k 1
瞬态部分分析
极点在实轴上
极点为z平面上共轭复数极点
7.4 离散系统动态特性
===== 幻灯片 67 =====
r(t)=1(t)，T=1s，K=1试分析系统的动态性能。
1 1 0.368 z 0.264
G ( z ) (1 z ) Z [ 2 ]
s ( s 1) ( z 1)( z 0.368)
G( z) 0.368 z 0.264
( z) 2
G ( z ) 1 z z 0.632
===== 幻灯片 68 =====
R(z)
z 1
0.368 z 1 0.263z 2
C ( z ) ( z ) R( z )
1 2 z 1 1.632 z 2 0.632 z 3
长除法
0.368 z 1 z 2 1.4 z 3 1.4 z 4 1.147 z 5 0.895 z 6 ...
输出序列
c(0) 0 c(T ) 0.368 c( 2T ) 1
c(3T ) 1.4 c( 4T ) 1.4 c(5T ) 1.147
……..
===== 幻灯片 69 =====
===== 幻灯片 70 =====
连续系统
1
( s)
s2 s 1
无零阶保持器
1 0.632 z
G( z) Z[ ]
s ( s 1) ( z 1)( z 0.368)
G( z) 0.632 z
( z ) 2
G ( z ) 1 z 0.736 z 0.368
有零阶保持器
===== 幻灯片 71 =====
num=[0.368 0.264]
num3=[1]
den=[1 -1 0.632]
den3=[1 1 1]
subplot(221)
subplot(223)
dstep(num,den,40)
step(num3,den3)
title('have zoh and sampler')
title('no zoh and sampler')
num2=[0.632 0]
grid
den2=[1 -0.736 0.368]
subplot(222)
l74
dstep(num2,den2,40)
title('only sampler ')
===== 幻灯片 72 =====
（1）采样器使峰值时间和调节时间略有减
小，超调量增大，稳定性降低。但在大
滞后系统中，反而会提高稳定程度。
（2）零阶保持器使峰值时间和调节时间
加长，超调量和振荡次数增加。
===== 幻灯片 73 =====
z
1. 响应表达式 R( z )
z 1 m
C ( z ) b0 z b1 z bm 1 z bm
m m 1
b
0
(z z )
i 1
i
M ( z)
( Z )
R ( z ) a0 z n a1 z n 1 an 1 z an a0 n
D( z )
(z p )
j 1
j
M ( z) z
C ( z)
D( z ) z 1 稳态分量
M (1) z
c(kT ) Ar Pr k BrPo k cos(k 0 0 )
D(1) z 1
Pr、Po分别为系统实数和复数闭环极点 暂态分量
===== 幻灯片 74 =====
（1）当 0 Pj 1 第二项按指数规律衰减。 越
靠近原点，其相应衰减越快，位于单位圆的
正实轴上（单位圆内）
（2） Pj 1 位于单位圆上，相应响应等幅
不衰减脉冲序列。
k
（3） 1 Pj 0 ， Pj
随k为奇数，偶数分别为
正、负值。因此瞬态分量正、负交替衰减的
脉冲序列。
===== 幻灯片 75 =====
j
幅脉冲序列。
（5）Pj 在单位圆外 Pj 0 ，其响应按指数规律
发散脉冲序列
（6）在单位圆外 Pj 0,响应正、负交替发
散，采样系统不稳定
例l75
===== 幻灯片 76 =====
（1）当| Pj|>=1 振荡发散 例l76
（2）当| Pj|<1振荡衰减。振荡角频率为 ，
极点越靠近原点，衰减越快。
复极点位于左半圆内所对应的振荡频率,要高于右半单
位圆内的情况.
当闭环极点位于Z平面上左半圆内，由于输出衰减
交替变号，动态过程性能欠佳。因此在离散系统
设计时，应把闭环极点安置在Z平面的右半单位圆
内，且尽量靠近原点
===== 幻灯片 77 =====
指在典型输入作用下,能以有限拍结束响应
过程,且在采样时刻上无稳态误差的离散系统.
设计原则:
要求选择闭环脉冲传函,使系统在典型输入下,经
最少的采样周期后能使输出序列在各采样时刻的
稳态误差为零,达到完全跟踪的目的,从而设计所需
要的数字控制器的脉冲传递函数 D(z).
===== 幻灯片 78 =====
设H(s)=1
D ( z )G ( z ) C ( z)
( z )
1 D( z )G ( z ) R ( z )
1 E( z)
e ( z)
1 D ( z )G ( z ) R ( z )
1 e ( z) ( z )
D( z )
G ( z ) e ( z ) G ( z )[1 ( Z )]
===== 幻灯片 79 =====
R( z)
(1 z 1 ) m
e ( z ) A( z )
E ( z ) e ( z ) R( z )
(1 z 1 ) m
e(0) e(T ) z 1 e(2T ) z 2 e(3T ) z 3 .....
1 A( z )1
e() lim (1 z ) E ( z ) lim (1 z ) 1 m
e
( z )
z 1 z 1
(1 z )
上式 e=0的条件是 e ( z )中包含有 (1 z
1
) m 的因子
e ( z ) (1 z 1 ) m F ( z )
1 m
F(z)为不含 (1 z ) 因子的多项式
===== 幻灯片 80 =====
（1）单位阶跃输入 A( z )
R( z)
(1 z 1 ) m
z 1
R( z) 1
A( z ) 1 m 1
z 1 1 z
e ( z ) (1 z 1 ) m F ( z )
e ( z ) 1 z 1 ( z ) z 1
z 1 D( z )
1 e ( z)
( z )
D( z ) G ( z ) e ( z ) G ( z )[1 ( Z )]
(1 z 1 )G ( z )
A( z ) e ( z ) A( z )
E ( z) 1 m
e ( z) 1 E( z)
(1 z ) (1 z 1 ) m
e ( 0) 1, e (T ) e ( 2T ) ... 0
最少拍系统经过一拍便可完全跟踪输入 1拍系统
===== 幻灯片 81 =====
R( z)
（2）单位斜坡输入 (1 z 1 ) m
Tz Tz 1 1
R( z ) A( z ) Tz m2
（z 1） （1 z 1）2
2
e ( z ) （1 z ） F ( z ) （1 z ）
1 m 1 2
( z ) 1 e ( z ) 2 z 1 z 2
( z) z 1 ( 2 z 1 )
D( z )
G ( z ) e ( z ) (1 z 1 ) 2 G ( z )
A( z ) 1
E ( z) 1 m
e ( z ) Tz
(1 z )
e ( 0) 0, e (T ) T ， e ( 2T ) e (3T ) ... 0 2拍系统
===== 幻灯片 82 =====
R( z )
（3）单位加速度输入 (1 z 1 ) m
1 2 1
T z （1 z 1）
1 2 1
R( z ) 2 A( z ) T z （1 z ） m 3
1
（1 z 1）3 2
e ( z ) （1 z ） F ( z ) （1 z ）
1 m 1 3
1 2 3
( z ) 1 e ( z ) 3z 3z z
( z) z 1 (3 3z 1 z 2 )
D( z )
G ( z ) e ( z ) (1 z 1 ) 3 G ( z )
A( z ) 1 2 1 1 2 2
E ( z) 1 m
e ( z) T z T z
(1 z ) 2 2
===== 幻灯片 83 =====
E ( z) 1 m
e ( z) T z T z
(1 z ) 2 2
3 2 2 9 2 3 n 2 2 n
C ( z ) ( Z ) R( z ) T z T z ....... T z ..
2 2 2
1 2 1 2
e ( 0) 0, e (T ) T ， e ( 2T ) T ， e (3T ) e ( 4T )... 0
2 2
3 2 9 2
c ( 0) c (T ) 0, c ( 2T ) T ， e (3T ) T ，.......
2 2
3拍系统
===== 幻灯片 84 =====
传递函数的形式有关，而与典型输入信号的形
式无关。
各种典型输入作用下系统进入稳态后，在非采
样时刻一般均存在纹波，从而增加系统的机械
磨损，故上述最少拍设计，只有理论上的意义，
并不实用。
===== 幻灯片 85 =====
按单位斜坡输入设计最少拍系统
E1 ( z) Tz 1
E2 ( z) D( z) E1 ( z) 0.54z 1 0.317z 2 0.4z 3 0.114z 4 0.255z 5 ..
E2(z)不是常值脉冲,而是围绕平均值上下波动,从而V在
二拍以后也围绕平均值波动,加在电机上电机转速不平
稳,产生纹波
===== 幻灯片 86 =====
(1) 被控对象的传函中,至少应包括(q-1)个
积分环节.
1
(2)2
E ( z ) 为 z 的有限多项式.
===== 幻灯片 87 =====
1.c2dm 连续模型变成离散模型
[numd , dend ] c 2dm(num, den, T , ' zoh' )
2.d2cm离散模型变成连续模型
[num, den] d 2cm(numd , dend , T , ' zoh' )
3.打印离散模型
pr int sys(numd , dend , ' z ' )
===== 幻灯片 88 =====
[ y, x ] dstep (num, den, n) n采样点数
5. dimpulse 生成离散单位脉冲响应
[ y , x] dim pulse(num, den, n) n采样点数
6. dlsim 生成对任意输入的离散响应
[ y, x] dlsim(num, den, u ) u输入
===== 幻灯片 89 =====
[ z , p, k ] tf 2 zp (num, den)
8. zplane 在 z域画出零点、极点
zplane( z , p )
===== 幻灯片 90 =====
7.2 (1) (3) 7.4 (1)
7.5
7.8 (3)
7.10 (a) (b)
7.11
7.16
7.17
===== 幻灯片 91 =====