当取 \(u=kx,k=(a-f)^{-1}T^{-1}\) 时,有
\[\dot{x}_c = T^{-1}ATx_c + T^{-1}b(a-f)x_c\]
\[=\begin{bmatrix} -a_1 & -a_2 & \cdots & -a_{n-1} & -a_n \\ 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 \end{bmatrix}x_c + \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix}[a_1-f_1 \quad a_2-f_2 \quad a_3-f_3 \quad \cdots \quad a_n-f_n]x_c\]
\[=\begin{bmatrix} -f_1 & -f_2 & \cdots & -f_{n-1} & -f_n \\ 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 \end{bmatrix}x_c\]
可知施加状态反馈 \(k=(a-f)(P_cP_r)^{-1}\) 后闭环系统 \((A+bk,b)\) 的特征多项式为
\[f_k(\lambda)=\lambda^n+f_1\lambda^{n-1}+f_2\lambda^{n-2}+\cdots+f_{n-1}\lambda+f_n\]
9-59 试证明阿克曼(Ackermann)公式:对于单输入线性系统 \((A,b)\),欲使施加状态反馈后闭环系统 \((A+bk,b)\) 的特征多项式为
\[f_k(\lambda)=\lambda^n+f_1\lambda^{n-1}+f_2\lambda^{n-2}+\cdots+f_{n-1}\lambda+f_n\]
则状态反馈增益向量 \(k\) 的计算公式为 \(k=qf_k(A)\),其中行向量 \(q\) 是系统 \((A,b)\) 可控性矩阵之逆阵的最后一行,即
\[q=[0 \quad 0 \quad \cdots \quad 0 \quad 1][b \quad Ab \quad A^2b \quad \cdots \quad A^{n-1}b]^{-1}\]
证明 设单输入系统 \((A,b)\) 是完全可控的,通过非奇异变换 \(T\) 把系统变成可控标准型,其中
\[A_c=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ -a_n & -a_{n-1} & -a_{n-2} & \cdots & -a_1 \end{bmatrix}, \quad b_c=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\]
加入状态反馈后,使得
\[A_c-b_ck_c=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ -a_n-a_n^* & -a_{n-1}-a_{n-1}^* & -a_{n-2}-a_{n-2}^* & \cdots & -a_1-a_1^* \end{bmatrix}\]
则闭环系统的特征多项式为
\[f_k(\lambda)=\lambda^n+(a_n+a_n^*)\lambda^{n-1}+\cdots+(a_1+a_1^*)=\lambda^n+f_1\lambda^{n-1}+\cdots+f_n\]
其中 \(a_i^*=f_i-a_i\)。状态反馈矩阵为 \(k_c=[f_n-a_n \quad f_{n-1}-a_{n-1} \quad \cdots \quad f_1-a_1]\)。
由于 \(x_c=T^{-1}x\),因此有 \(u=k_cx_c=k_cT^{-1}x,k=k_cT^{-1}\),令
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