3. 拉普拉斯反变换
求拉普拉斯反变换的简单方法是利用拉普拉斯变换表。如果某个变换式 \(F(s)\) 在表中不能找到,那么可以把 \(F(s)\) 展成部分分式,写成 \(s\) 的简单函数形式,再去查表。
应当指出,这种寻求拉普拉斯反变换的简单方法基于如下事实:对于任何连续的时间函数,它与其拉普拉斯变换之间保持唯一的对应关系。
一般,象函数 \(F(s)\) 是复变量 \(s\) 的有理代数分式,可以表示如下:
\[F(s)=\frac{B(s)}{A(s)}=\frac{b_0 s^m+b_1 s^{m-1}+\cdots+b_{m-1}s+b_m}{s^n+a_1 s^{n-1}+\cdots+a_{n-1}s+a_n}\]
式中,系数 \(a_1,a_2,\cdots,a_n\) 和 \(b_0,b_1,b_2,\cdots,b_m\) 都是实常数;\(m\) 和 \(n\) 为正整数,通常 \(m<n\)。
为了把 \(F(s)\) 展成部分分式,需要对 \(A(s)\) 进行因式分解,得到
\[F(s)=\frac{B(s)}{A(s)}=\frac{b_0 s^m+b_1 s^{m-1}+\cdots+b_{m-1}s+b_m}{(s-s_1)(s-s_2)\cdots(s-s_n)}\]
式中,\(s_i(i=1,2,\cdots,n)\) 称为 \(F(s)\) 的极点。
1) \(F(s)\) 无重极点
\[F(s)=\sum_{i=1}^{n}\frac{c_i}{s-s_i}\]
式中,\(c_i\) 为待定常数,称为 \(F(s)\) 在极点 \(s_i\) 处的留数,可按下式计算:
\[c_i=\lim_{s\to s_i}(s-s_i)F(s)\]
于是,可方便求得原函数
\[f(t)=\mathscr{L}^{-1}[F(s)]=\sum_{i=1}^{n}c_i \mathrm{e}^{s_i t}\]
上式表明,有理代数分式函数的拉普拉斯反变换,可表示为若干指数项之和。
2) \(F(s)\) 有多重极点
设 \(A(s)=0\) 有 \(r\) 个重根 \(s_1\),则 \(F(s)\) 可写为
\[F(s)=\frac{B(s)}{(s-s_1)^r(s-s_{r+1})\cdots(s-s_n)}\]
\[=\frac{c_r}{(s-s_1)^r}+\frac{c_{r-1}}{(s-s_1)^{r-1}}+\cdots+\frac{c_1}{s-s_1}+\frac{c_{r+1}}{s-s_{r+1}}+\cdots+\frac{c_n}{s-s_n}\]
式中,待定常数 \(c_{r+1},\cdots,c_n\) 按 \(F(s)\) 无重极点时的留数计算
\[c_i=\lim_{s\to s_i}(s-s_i)F(s);\quad i=r+1,r+2,\cdots,n\]
而重极点对应的待定常数 \(c_r,c_{r-1},\cdots,c_1\),则按下式确定:
\[c_r=\lim_{s\to s_1}(s-s_1)^r F(s)\]
\[c_{r-1}=\lim_{s\to s_1}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\left[(s-s_1)^r F(s)\right]\]
\[\vdots\]
\[c_{r-j}=\frac{1}{j!}\lim_{s\to s_1}\frac{\mathrm{d}^{(j)}}{\mathrm{d}s^j}\left[(s-s_1)^r F(s)\right]\]
\[\vdots\]
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