确定系统稳定时 \(K\) 值的范围。
图 4-80 控制系统结构图
解 系统的开环传递函数
\[G(s)H(s)=\frac{K(s+1)}{(-s+1)(s^2+6s+1)}\]
由于系统的反馈极性为正，概略绘制 \(K\) 从 \(0\to+\infty\) 时系统的闭环根轨迹图，相当于绘制下列系统的常规根轨迹图：
\[G(s)H(s)=\frac{K(s+1)}{(s-1)(s^2+6s+1)}=\frac{K^*(s+1)}{(s-1)(s+0.17)(s+5.83)},\quad K^*=K\]
① 实轴上的根轨迹分布区：\([-5.83,-1]\)，\([-0.17,1]\)。
② 根轨迹的渐近线：\(\sigma_a=\dfrac{-5.83-0.17+1+1}{2}=-2\)，\(\varphi_a=\pm\dfrac{\pi}{2}\)。
③ 根轨迹的分离点坐标满足
\[\frac{1}{d+5.83}+\frac{1}{d+0.17}+\frac{1}{d-1}=\frac{1}{d+1}\]
求得分离点的坐标为
\[d=0.315\]
④ 根轨迹与虚轴的交点：由系统的开环传递函数可知系统的闭环特征方程为
\[D(s)=(s-1)(s^2+6s+1)+K(s+1)$$
$$=s^3+5s^2+(K-5)s+K-1=0\]
令 \(s=\mathrm{j}\omega\)，将其代入上式可得
\[(\mathrm{j}\omega)^3+5(\mathrm{j}\omega)^2+(K-5)(\mathrm{j}\omega)+K-1=0\]
即
\[\begin{cases}-5\omega^2+K-1=0\\-\omega^3+(K-5)\omega=0\end{cases}\]
解得系统临界稳定参数
\[\omega=\pm1,\quad K=6\]
根据以上几点，可以画出概略根轨迹如图 4-81 所示。
由根轨迹图可得，当 \(K>6\) 时，系统稳定。
仿真曲线如图 4-82、图 4-83 所示。
MATLAB 程序：exe426.m
图 4-81 \(1+\dfrac{K(s+1)}{(s-1)(s^2+6s+1)}=0\)
概略根轨迹图
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