将上式代入可得
\[\boldsymbol{\Phi}(t) = \alpha_0(t)\boldsymbol{I} + \alpha_1(t)\boldsymbol{A} + \alpha_2(t)\boldsymbol{A}^2\]
\[= \frac{1}{9}\begin{bmatrix} (8-6t)\mathrm{e}^{-t}+\mathrm{e}^{2t} & (-2+3t)\mathrm{e}^{-t}+2\mathrm{e}^{2t} & -(1+3t)\mathrm{e}^{-t}+\mathrm{e}^{2t} \\ -(2+6t)\mathrm{e}^{-t}+2\mathrm{e}^{2t} & (5-3t)\mathrm{e}^{-t}+4\mathrm{e}^{2t} & (-2+3t)\mathrm{e}^{-t}+2\mathrm{e}^{2t} \\ (-4+6t)\mathrm{e}^{-t}+4\mathrm{e}^{2t} & (-8+3t)\mathrm{e}^{-t}+8\mathrm{e}^{2t} & (5-3t)\mathrm{e}^{-t}+4\mathrm{e}^{2t} \end{bmatrix}\]
(4) MATLAB验证。利用下述MATLAB命令验证计算过程，所得结果完全一致。
MATLAB程序：exe910.m
A=[0 1 0;0 0 1;2 3 0];syms s;A1=inv(s*eye(3)-A);ilaplace(A1)
9-11 已知线性系统的状态转移矩阵
\[\boldsymbol{\Phi}(t) = \begin{bmatrix} -2t\mathrm{e}^{t}+\mathrm{e}^{2t} & 3t\mathrm{e}^{t}+2\mathrm{e}^{t}-2\mathrm{e}^{2t} & -t\mathrm{e}^{t}-\mathrm{e}^{t}+\mathrm{e}^{2t} \\ -2t\mathrm{e}^{t}-2\mathrm{e}^{t}+2\mathrm{e}^{2t} & 3t\mathrm{e}^{t}+5\mathrm{e}^{t}-4\mathrm{e}^{2t} & -t\mathrm{e}^{t}-2\mathrm{e}^{t}+2\mathrm{e}^{2t} \\ -2t\mathrm{e}^{t}-4\mathrm{e}^{t}+4\mathrm{e}^{2t} & 3t\mathrm{e}^{t}+8\mathrm{e}^{t}-8\mathrm{e}^{2t} & -t\mathrm{e}^{t}-3\mathrm{e}^{t}+4\mathrm{e}^{2t} \end{bmatrix}\]
试求\(\boldsymbol{\Phi}^{-1}(t)\)及相应的状态矩阵\(\boldsymbol{A}\)。
解 (1) 求状态转移矩阵的逆\(\boldsymbol{\Phi}^{-1}(t)\)。根据状态转移矩阵的运算性质可得
\[\boldsymbol{\Phi}^{-1}(t) = \boldsymbol{\Phi}(-t) = \begin{bmatrix} 2t\mathrm{e}^{-t}+\mathrm{e}^{-2t} & -3t\mathrm{e}^{-t}+2\mathrm{e}^{-t}-2\mathrm{e}^{-2t} & t\mathrm{e}^{-t}-\mathrm{e}^{-t}+\mathrm{e}^{-2t} \\ 2t\mathrm{e}^{-t}-2\mathrm{e}^{-t}+2\mathrm{e}^{-2t} & -3t\mathrm{e}^{-t}+5\mathrm{e}^{-t}-4\mathrm{e}^{-2t} & t\mathrm{e}^{-t}-2\mathrm{e}^{-t}+2\mathrm{e}^{-2t} \\ 2t\mathrm{e}^{-t}-4\mathrm{e}^{-t}+4\mathrm{e}^{-2t} & -3t\mathrm{e}^{-t}+8\mathrm{e}^{-t}-8\mathrm{e}^{-2t} & t\mathrm{e}^{-t}-3\mathrm{e}^{-t}+4\mathrm{e}^{-2t} \end{bmatrix}\]
(2) 求状态矩阵\(\boldsymbol{A}\)。由于\(\dot{\boldsymbol{\Phi}}(t) = \boldsymbol{A}\boldsymbol{\Phi}(t)\)，\(\boldsymbol{\Phi}(0)=\boldsymbol{I}\)，所以
\[\boldsymbol{A} = \dot{\boldsymbol{\Phi}}(t)\Big|_{t=0}\]
\[= \left.\begin{bmatrix} -2\mathrm{e}^{t}-2t\mathrm{e}^{t}+2\mathrm{e}^{2t} & 3\mathrm{e}^{t}+3t\mathrm{e}^{t}+2\mathrm{e}^{t}-4\mathrm{e}^{2t} & -\mathrm{e}^{t}-t\mathrm{e}^{t}-\mathrm{e}^{t}+2\mathrm{e}^{2t} \\ -2\mathrm{e}^{t}-2t\mathrm{e}^{t}-2\mathrm{e}^{t}+4\mathrm{e}^{2t} & 3\mathrm{e}^{t}+3t\mathrm{e}^{t}+5\mathrm{e}^{t}-8\mathrm{e}^{2t} & -\mathrm{e}^{t}-t\mathrm{e}^{t}-2\mathrm{e}^{t}+4\mathrm{e}^{2t} \\ -2\mathrm{e}^{t}-2t\mathrm{e}^{t}-4\mathrm{e}^{t}+8\mathrm{e}^{2t} & 3\mathrm{e}^{t}+3t\mathrm{e}^{t}+8\mathrm{e}^{t}-16\mathrm{e}^{2t} & -\mathrm{e}^{t}-t\mathrm{e}^{t}-3\mathrm{e}^{t}+8\mathrm{e}^{2t} \end{bmatrix}\right|_{t=0}\]
\[= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 2 & -5 & 4 \end{bmatrix}\]
(3) MATLAB验证。利用下述MATLAB命令计算，所得结果完全一致。
MATLAB程序：exe911.m
syms t
phi=[-2*t*exp(t)+exp(2*t) 3*t*exp(t)+2*exp(t)-2*exp(2*t) -t*exp(t)-exp(t)
+exp(2*t);-2*t*exp(t)-2*exp(t)+2*exp(2*t) 3*t*exp(t)+5*exp(t)
-4*exp(2*t) -t*exp(t)-2*exp(t)+2*exp(2*t);-2*t*exp(t)-4*exp(t)
+4*exp(2*t) 3*t*exp(t)+8*exp(t)-8*exp(2*t) -t*exp(t)-3*exp(t)
+4*exp(2*t)]
dphi=diff(phi);
phi1=subs(phi,t,-t)
A=limit(dphi,0)
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