故使系统稳定的 \(K\) 的取值范围为 \(K>0.53\)。

(2) 利用赫尔维茨稳定判据来判定系统的稳定性。

由特征方程可知 \(n=4\)，且 \(a_0=1,a_1=4,a_2=13,a_3=36,a_4=K\)。若系统是稳定的，需要满足条件：① 特征方程的各项系数为正；② \(\Delta_2=a_1a_2-a_0a_3>0\)；③ \(\Delta_2>a_1^2a_4/a_3\)。即

故使系统稳定的 \(K\) 的取值范围为 \(0<K<36\)。

(3) 利用赫尔维茨稳定判据来判定系统的稳定性。

由特征方程可知 \(n=4\)，且 \(a_0=1,a_1=20K,a_2=5,a_3=10,a_4=15\)。若系统是稳定的，需要满足条件：① 特征方程的各项系数为正；② \(\Delta_2=a_1a_2-a_0a_3>0\)；③ \(\Delta_2>a_1^2a_4/a_3\)。即

故 \(K\) 取任何值都无法使系统稳定。

MATLAB程序：exe317.m

k1=0.6;　　　　　　　　den1=[1 3*k1 k1+2 4];　　　　　　　p1=roots(den1)

k2=1;　　　　　　　　　den2=[1 4 13 36 k2];　　　　　　　p2=roots(den2)

k3=10;　　　　　　　　　den3=[1 20*k3 5 10 15];　　　　　p3=roots(den3)

得到系统的特征根为

(1) 取 \(K=0.6\) 时，\(p_1=-1.67，-0.06+j1.54，-0.06-j1.54\)；

(2) 取 \(K=1\) 时，\(p_2=-0.03，-3.32，-0.33+j3.26，-0.33-j3.26\)；

(3) 取 \(K=10\) 时，\(p_3=-200，-0.39，0.18+j0.4，0.18-j0.4\)。

3-18 已知单位反馈控制系统的开环传递函数如下，试分别求出当输入信号为 \(1(t)\)，\(t\) 和 \(t^2\) 时，系统的稳态误差 \(e_{ssp}(\infty)\)，\(e_{ssv}(\infty)\) 和 \(e_{ssa}(\infty)\)。

(1) \(G(s)=\dfrac{10}{(0.1s+1)(0.5s+1)}\)；(2) \(G(s)=\dfrac{7(s+1)}{s(s+4)(s^2+2s+2)}\)；

(3) \(G(s)=\dfrac{8(0.5s+1)}{s^2(0.1s+1)}\)。

解 (1) 根据系统的开环传递函数可知闭环系统的特征方程为

由赫尔维茨判据可知，\(n=2\) 且各项系数为正，因此系统是稳定的。

由 \(G(s)\) 可知，系统是0型系统，且 \(K=10\)，故系统在 \(1(t)\)、\(t\)、\(t^2\) 输入信号作用下的稳态误差分别为

(2) 根据系统的开环传递函数可知闭环系统的特征方程为