\(m\) 为定值情况下,系统闭环稳定的 \(K\) 值范围。
解 系统的开环频率特性为
\[G(j\omega) = \frac{K}{j\omega(1+j\omega)^m} = \frac{K}{\omega(1+\omega^2)^{m/2}} \angle -90° - m\arctan\omega\]
由 \(\varphi(\omega_x) = -180°\),即
\[-90° - m\arctan\omega_x = -180°\]
解得 \(\omega_x = \tan\dfrac{\pi}{2m}\)。
若使闭环稳定,则应有 \(|G(j\omega_x)| < 1\),即
\[\frac{K}{\omega_x(1+\omega_x^2)^{m/2}} < 1\]
解得
\[0 < K < \tan\frac{\pi}{2m}\left(1+\tan^2\frac{\pi}{2m}\right)^{m/2}\]
例如:\(m=1\) 时,有 \(0<K<\infty\);\(m=2\) 时,有 \(0<K<2\);\(m=3\) 时,有 \(0<K<0.888\);\(m=4\) 时,有 \(0<K<0.568\);\(m=6\) 时,有 \(0<K<0.33\)。
MATLAB 验证:令 \(m=2,K=2\),则 \(G(s)=\dfrac{2}{s(s+1)^2}\),\(\Phi(s)=\dfrac{2}{s^3+2s^2+s+2}\),单位阶跃响应如图 5-101 所示,输出等幅振荡。
图 5-101 \(m=2\) 时,闭环系统的单位阶跃响应(MATLAB)
MATLAB 文本:exe553.m
G=tf(2,conv([1,0],conv([1,1],[1,1])));
close=feedback(G,1);
step(close);grid;
5-54 已知单位反馈系统的开环传递函数 \(G(s) = \dfrac{K}{(s+1)(s+1.5)(s+2)}\),若希望系统闭环极点都具有小于 \(-1\) 的实部,试用奈奎斯特判据确定 \(K\) 的最大值。(提示:先作变换 \(G(u)=G(s)|_{s=u-1}\)。)
· 306 ·