各位同学大家好，欢迎来到考试点，今天呢，我们来讲解一下自动控制原理的第四章。
线性系统，它的根轨迹法在上两节的啊，讲解当中我们系统的复习了线性系统的时域分析法。
我们说过了，在经典控制理论当中呢，有三个非常重要的理论分析方法，分别是时域分析法，根轨迹法以及频域分析法。
不管哪一种方法，我们分析的思路都是先建立系统的数学模型，在实域分析法当中，我们建立了实域当中的数学模型微分方程。
通过对微分方程进行求解，我们可以分析系统的性能，而我们在这一章当中。
要建立的数学模型呢？
是控制系统的传递函数，那么我们借助的是控制系统的开环传递函数。
来分析闭环控制系统的性能。
下面我们来看一下这一章的知识脉络，那知识脉络。
那么，在根轨迹法这一章当中，我们呢？
重点要掌握两个方面的内容。
第一个方面，我们要绘制根轨集，绘制根轨集绘制出来，这种图形的目的。
是干什么呢？
借助于根轨迹来对系统进行分析。
所以画图只是基础，画出来图形以后，我们要借助于图形来对系统的性能进行分析。
而我们在画根轨迹的时候，主要要画什么样的根轨迹呢？
我们实际上要借助三个方面的根轨迹。
一个是180度的跟轨集，我们也把它呢叫做常规跟轨集，常规跟轨集。
画它的时候，我们可以借助于啊。
开环传递函数所遵循的浮值条件和向角条件，我们认为所有满足了浮值条件和向角条件的点。
所连成的曲线就是系统的根轨迹，但是对于一个复杂的系统而言。
想要找到根轨迹上的所有点，实际上是非常困难的，所以我们借助于扶植条件和向角条件。
推出来了，绘制根轨迹的基本规则主要呢有九条，那主要有九条，这九条根轨迹的绘制规则大家需要呢牢牢的掌握，那牢牢的掌握。
除了180度这样的常规跟轨迹之外，如果系统当中存在了正反馈或者是存在了某一些最。
最小相位环节非最小相位环节。
那么这个时候所构成的非最小相位系统，它的根轨迹和常规根轨迹的绘制呢，就有了差别。
因此，我们还需要掌握0度跟轨迹的绘制，那么0度跟轨迹的绘制呢？
在这里非常重要，因为现在呢？
在很多院校的考研试题当中。
慢慢的考察根轨迹的时候呢，在趋向于绘制0度根轨迹，那0度根轨迹。
除了180度根轨迹和0度根轨迹之外，我们通常提到的这两种根轨迹呢，都是以根轨迹增益k星。
或者是系统的开环增益k来作为参变量，当这两种参数从零变。
变化到无穷大的时候，闭环特征根随着参数变化的状态，我们把它叫做根轨集。
但是在系统当中，往往还会存在一些其他的参数，比如说某一个惯性时间常数或。
或者说某一些起领点，那么这个时候我们又该如何以这些新的参变量来绘制根轨迹呢？
我们涉及到了。
第三种常见的根轨集叫做参数根轨集。
哎，参数跟轨迹那么实际上参数跟轨迹，为什么我们在这里没有单独提出来呢？
原因在于。
对于参数跟轨迹，我们对于系统做了传递函数的变形，以后我们能够找到一个。
等效。
开环传递函数哎，等效开环传递函数这个等效开环传递函数呢是。
是以新的参变量来作为啊，以前根轨迹增益或者是开环增益所对应的，这样的参变量的位置。
那么这个时候找到了等效开环传递函数以后绘制的规则是和180度跟轨迹以及0度跟轨迹呢，完全一样的。
所以在这里呢啊，我们没有把参数跟轨迹单独提出来，那么绘制了根轨迹以后，我们说了，主要是借助于根轨迹。
它的图形分布也就是闭环特征，根在s平面当中，它的分布情况我们要对系统呢来进行分析。
在常见的考察点当中呢？
分析涉及到了两个方面，一个是定性的分析，定性的分析。
那么分析不外乎就是分析系统的性能，而一个控制系统的性能又包括什么呢？
不就是三点吗？
稳快准。
针对这三点，在根轨集当中，我们对于稳定性是如何来界定的呢？
如果我们画出来了，系统的根轨集。
我们发现这个系统所有的根轨集都分布在s的左半平面，什么叫做所有的根轨集呢？
也就是说，不管参变量。
如何变化这个系统所有的闭环特征根全部呢？
分布在s的左半平面。
按照我们食欲分析法当中已经学习过的，如果闭环特征根分布在s的左半平面，那么控制系统它就一定稳定。
所以如果我们画出来了，根轨迹发现这所有的根轨迹呢，全部分布在s的左半平面，那么这个时候这个控制系统它就一定是稳定的。
否则的话，否则的话。
比如说我们画出来某一个控制系统，这个控制系统呢，它的闭环特征根的分布呢，是这样的。
哎，这如果是一个常规系统的跟轨集，也就是说180度跟轨集，那么在这两个。
几点之间肯定会存在分离点，然后呢，有一段根轨迹在负无穷，到这个闭环起点之间。
分离点发生分离以后，两条根轨迹呢，都会趋近于无穷无穷远处。
好，现在呢？
三条根轨迹的分布大概是这个样子的。
那么这个时候我们发现有两条跟轨集，随着参变量的变化。
随着参变量的变化，它从稳定的左半平面穿越了虚轴。
而穿越虚轴意味着什么呢？
如果现在这个系统有两个极点，它是呈对称形式，也就是共阿形式分布在虚轴上。
那么这个时候系统是处于临界稳定状态的啊，临界稳定状态的，也就是说。
现在系统呢，会做一种等幅震荡，等幅震荡，它的运动一旦过了临界稳定以后，它就穿越到了右半平面。
而一旦进入到了右半平面以后，这个时候在它的响应当中就会存在。
这样的一种形式，也就是说呈指数发散的这样的一种震荡啊，呈指数发散的这样的一种震荡。
那么这个时候系统它就会不稳定啊，会不稳定，所以呢，我们要啊注意一下，随着我们的。
根轨及它的分布系统的稳定性是如何发生改变的啊？
发生改变的其中这种临界稳定点所对应的参变量。
不管是根轨迹增益也好，系统增益也好，它的取值情况在根轨迹的考察当中呢，经常都会见到。
这是定性分析的第一个方面，第二个方面我们将会分析控制系统，它的快速性稳快准，第二个方面快速性。
那么快速性又该如何来界定呢？
在上一章当中，我们针对于高阶系统。
提到了一个非常重要的概念，叫做闭环主导几点。
所谓的闭环主导几点是指的什么呢？
来在我们刚才举的这个例子当中。
系统呢，有三个开环节点，所以它是一个三阶系统，这三阶系统从它的根轨迹的分布当中，我们发现。
有一个闭环特征根，它一定是位于负无穷到负的p3之间的。
啊负的p3之间的那么这个根它是实根它是实根，而还有一两个闭环特征根呢。
它是位于负的p2到负的p1。
要么是在它们之间一对互不相等的负实根，要么就是呈对称形式分布的一对共额的复数根。
如果现在这三个根有一个是负实根，另外两个是共额的复数根。
共额的复数根，那么在这种情况下，如果这个负实根。
它距离虚轴的呃，这段距离比这一对。
哎比这一对。
共额的复数根它距离虚轴的这个距离呢，要大到五倍以上，要大到五倍以上。
那么，在这种情况下，响应当中，由这个几点那由这个几点所对应的响应分量。
会在很短的时间内呢衰减掉，而这个时候这个三阶系统的暂态性能。
主要是由这一对。
靠近虚轴的极点，它所对应的响应分量来确定，来确定，我们把这一对极点。
就叫做系统的闭环主导，基点闭环主导，基点有了闭环主导，基点的概念以后。
那么这个时候，这样的一个三阶系统就可以由用这一对闭环主导几点？
所确定的二阶系统。
二阶系统来分析它的性能，所以呢，在快速性这个方面，要对系统进行定性分析的时候。
我们认为，如果一个系统它存在主导极点，主导极点，距离虚轴要越远越好。
越远那么这个时候呢，意味着它的负十步越远，它的负十步所。
所对应的值就越大，在指数分量当中衰减的速度也就越快。
好快速性。
如果我们能够找到系统的主导几点，那么主导几点，距离需求越远，它的快速性能呢越好。
除了稳和快之外，第三个方面，第三个方面，我们在这里呢，没有讨论稳态误差，讨论的是什么呢？
它的运动过程当中，也就是赞叹响应过程当中的相对平稳性。
在食欲分析法当中，我们曾经提到。
一个控制系统，它的相对平稳性是由它的超调量，这个时域性能指标来确定的。
而这个超调量哎，我们来看一下，在二阶一阶系统当中，当然它的单位节约响应是呈现单道递增的趋势。
因此呢，不存在超调量，而二阶系统嵌阻尼的二阶系统，它的超调量等于多少呢？
等于e的负的可c派。
比上一减去可c的平方，乘以100%。
我们发现，这个时候，二阶系统的。
超调量只和阻尼比可c是有关系的，并且如果阻尼比越小。
阻尼比越小，那么这个时候呢？
它的超调量哎，超调量也就越小，那也就越小。
所以如果阻尼比越小，那么这个时候呢，它的运动过程，我们认为它的相对平稳性也就越好。
而这个阻尼比的大小是由谁来反映的呢？
啊？
阻尼比哎阻尼比越小。
超调量应该越大，那超调量是越大啊，它们两个是成反比的，这个呢，我们可以用一下，求导能够求出来。
那么这个时候阻尼比反应在哪里呢？
反应在这里在我们刚才绘制的根轨迹当中。
如果存在了一对主导极点，那么这一对主导极点连接它和坐标原点的连线。
这个连线与副时轴。
副时轴，它的逆时针方向旋转的角度，我们把它叫做贝塔。
这个贝塔的值，这个贝塔的值，现在这个系统已经近似为一个二阶系统了。
这个贝塔，它的余弦值就是可c啊，余弦值就是可c，那么我们来看一下，对于二阶系统阻尼比越小超调量越大那么。
那么反过来阻尼比如果越大阻尼比如果越大超调量呢，它就越小。
而阻尼比如果越大，这个时候实际上对阻尼角贝塔，它的要求是这样的。
我们认为贝cos贝塔是一个啊，单调递减的函数，所以呢，如果贝塔的值越小。
贝塔的值越小，那么这个时候呢，可c也就越大，贝塔越小，可c越大。
超调量呢，也就越小，所以在反映它的平稳性的时候，我们认为主导极点与负时轴的夹角越小。
相对平稳性越好，在这里要有这样的一个概念。
阻尼角啊，阻尼角这个贝塔是如何定义的？
那是如何定义的？
除了定性的分析，它三个方面的运动性能之外，我们呢？
在经常一些考题当中，还会见到要对一些控制系统。
它的性能来进行定量的计算，定量的计算，这些定量计算包括什么呢？
比如说。
哎，如果现在我告诉了你某些参数，以后让你根据这些参数来确定系统的闭环几点。
闭环几点？
比如说在我们刚才如果画出来了根轨迹以后，那么我告诉你。
这个时候，系统在某个位置的根轨迹增益或者开环增益，这些参变量告诉你了。
让我们来根据这些已知的参变量来确定所对应的闭环，几点所对应的闭环几点。
而一旦闭环，几点确定出来以后，那么进一步，如果这是一个二阶系统，该如何计算这个二阶系统的性能指标？
性能指标以及在某一些特定的激励作用下，它的响应曲线啊，响应曲线。
这是第一个方面的定量计算，常见的啊，考察类型，除此之外，还有可能让你计算反过来。
给了你某一些闭环，几点让你计算这些闭环，几点所对应的参数。
那么，在计算这些参数的时候呢，我们就会用到啊绘制根轨迹的基础了，也就是我们的赋值条件，或者是系统的。
特征方程啊，系统的特征方程，那么在根轨迹这一章当中呢，那根轨迹这一章当中呢，它的考察是每一啊，每一个院校。
都会遇到的。
那在考研试题当中，这一章的内容都会遇到，而且考察的方式越来越趋于综合化。
那综合化也就是说，他不会单独考察你如何绘制一个跟轨集，而且即使是绘制跟轨集。
它的趋势也是在朝着0度跟轨迹或者是参数跟轨迹这样的方向在发展。
绘制出来根轨迹以后怎么样综合化呢？
它会让你定性或者定量的计算，那定性的分析，或者定量的计算。
这个呢，在我们待会儿要举的例题当中呢，一定会见到，那一定会见到考察的方式，越来越综合化了，那越来越综合化了。
这是我们在第四章先要了解的啊，一个整体的知识脉络，那知识脉络。
下面呢，我们就针对第四章的一些重要的知识点来进行一下复习，首先我们要来复习一下根轨迹的基本概念。
所谓根轨集，是指的什么呢？
哎，系统当中的某个参数注意开环系统当中的某个参数。
比如说根轨迹增益或者是开环增益，当它从零变化到无穷大的时候。
整个闭环特征根在s平面当中的运动轨迹，那运动轨迹那么所谓的根轨迹方程又指的什么呢？
在已知开环传递函数的情况下所对应的。
闭环特征方程，我们就把它叫做根轨迹方程，那么在这里要注意一点。
这个根轨迹方程当中的正负号正负号并不完全取决于反馈的极性。
这句话是什么意思呢？
我们来看一下，如果现在我们给你的是这样的一个系统。
哎，给你的是这样的一个系统，那么这个系统从它的主体结构来看啊，它是一个单位负反馈的系统。
但是我们观察一下它的内部，这个局部闭环，局部闭环。
这里是正号，所以这个系统呢，它具有了局部正反馈的性质。
再比如说。
好，这个系统它仍然是一个单位负反馈的系统。
只不过在它的开环传递函数当中，出现了这样的一个环节，这个环节在t大于零的情况下。
是一个非最小相位环节，所以这个具有了负反馈性呃负反馈结构的系统。
它实际上，由于含有了非最小相位环节，在绘制它的时候，我们不能按照180度跟轨迹的绘制规则。
而要采用0度根轨迹的绘制规则，所以这句话要理解式子当中那根轨迹方程当中这个正负的符号。
并不完全取决于反馈的极性，而是由具体的问题来做具体的分析，那具体的分析。
这是关于根轨集的啊，概念。
那么拿到一个系统以后，它究竟应该按照哪种绘制规则，180度的还是0度的来绘制呢？
哎，我们来观察一下。
这样的一个啊，系统的闭环特征方程，拿到一个任意的系统，我们借助于梅寻公式，总能求得这个系统。
它的闭环传递函数，也就是说，如果这个系统的结构确定了，它的闭环传递函数，我们一定能够求出来。
那么，这个闭环传递函数呢？
我们可以把它归结为这样的形式，那归结为这样的形式。
那么，在这样的一个闭环特征方程当中呢？
参变量是这个a，参变量是这个a。
当a从零到无穷，连续变化的时候，这个方程它的解所呈现的运动轨迹就是根轨迹了，那就是根轨迹了。
只不过在这里。
这个参变量a它既有可能是系统的跟轨及增益k星，也有可能是系统当中的其他参变量。
其他参变量只不过啊，不管是任何参变量，在对闭环特征方程做了变形以后，我们总能够把它化作这样的形式。
如果现在这个参数a就是系统的根轨迹增益，那么这个时候所对应的根轨迹我们把它叫做180度。
或者是0度根轨迹，而如果这个参变量a不是根轨迹增益，而是我们在前面说过的，比如说一些时间常数啊，比如说某些极零点呀。
但是一旦画成了这样的形式，那么这个时候呢？
这个部分哎，这个部分就是我们提到的等效。
开环。
传递函数。
那么这个时候。
任何的参变量，它实际上和我们绘制180度还有0度根轨迹的时候所对应的那个根轨迹增益位置是一样的。
所以只要能够找到等效开环传递函数参数跟轨迹的绘制，和之前讲到的180度或者0度跟轨迹的绘制呢，就是一样的了，那就是一样的了。
所以，从系统的闭环特征方程当中，首先我们要来判断，我们要绘制的系统，它的根轨迹系统是180度的呢，还是0度的呢？
或者是参数的呢？
哎，确定好以后我们再采用具体的绘制规则，那具体的绘制规则。
绘制根轨迹的时候呢，有两个基本条件，这两个基本条件也是我们后边推导出来了啊，推导出来的那些绘制规则，它的基础。
那它的基础，那么其中要要格外注意向角条件是绘制根轨迹的充要条件。
为什么向缴条件比扶植条件更加重要呢？
我们来看一下，那来看一下。
当我们把系统它的。
根轨迹，方程根，轨迹方程变形为这样的形式以后。
啊，其实这里是正负呢，没有影响，如果是正的呢，就是一些啊，负极点来，我们来观察一下。
如果现在哎，我们把它归结为了这样的形式，归结为了这样的形式，画成这样的形式以后，如果这个系统是180度的跟轨迹。
那么我们要取的呢，是这个负号，而如果系统是0度跟轨集这边呢，就要等于正一好，也就是说。
如果是180度的，那么右边要等于负一，如果是0度跟轨集右边呢？
要等于正一。
在抚平片当中，+1和-1位于哪里呢？
一个是负实轴上，如果是在负实轴上，那么所对应的像角就应该呢是180度。
而如果是在正时轴上向角是0度，因此我们也把系统区分为了180度和0度两种情况。
如果是180度的跟轨集，那么在利用复数那两个复复数两边要相等两个复数，两边要相等。
必须是它的模相等俯角呢，也得相等俯角也得相等，而提到了俯角或者相角的时候，那么这个时候我们就有了。
上面开环传递函数当中所有的。
零点所对应的角度之和。
减去分母当中，哎分母当中所有的几点所对应的角度之和。
它们呢？
应该等于负一所对应的角度，也就是180度在变。
为了向角条件以后，实际上我们刚才的参变量这个a呢，就已经不存在了。
那不存在了，那么这样的话，减小了，减少了参变量，所以呢，在这种情况下，在这种情况下，向角条件啊，要来的更加的啊，简便一些。
而浮值条件，它的存在通常是用来求给定点对应的参数，比如说根轨迹或者其他参变量的值。
这一点呢，要区分开来，而且这个扶持条件和上缴条件在某一类题型的啊，考察当中经常我们也会用到什么样的题型呢？
比如说我们来看，如果某一个控制系统，那某一个控制系统，它的起零点分布呢，是这样的。
两个相邻的，两个相邻的实数集点。
此外，还有两个相邻的实数零点。
那么，如果这是一个常规跟轨迹，也就是180度跟轨迹。
我们可以知道，在这两个极点之间，一定会存在分离点。
同时，在这两个零点之间，会存在汇合点，汇合点，那么这个点。
在发生了分离和汇合以后，如果极零点的分布是这样的话，那么在一般情况下。
所对应的根轨集，它在俯平面当中的部分呢，通常是一个圆。
通常是一个圆好这种题型呢，在现在的考研考试当中经常也会见到。
遇到了这种情况，遇到了这种情况，那么这个时候如果要想证明俯平面当中的根轨迹是一个圆。
那么这个时候我们既可以用向角条件来证明，当然有同学说我还可以用扶植条件来证明。
但是实践当中，我们发现用向角条件证明的时候，由于避免了参变量这个k星，它的引入。
所以呢，会更加容易一些，而通常要想证明俯平面当中的根轨集是圆或者圆弧的某一个部分。
我们通常用到的就是向角条件这个呢，在后面的典型例题当中，我们也会讲到啊，也会讲到这是我们刚才提到的啊，扶持条件。
和向角条件那扶持条件和向角条件搞清楚，扶持条件是计算一些确定的参数啊，确定的参数，也就是说给定点所对应的参变量。
而利用向角条件作为绘制根轨迹的。
基础啊，绘制根轨迹的基础，很多绘制根轨迹的规则都是由此推生出来的，那延伸出来的。
在绘制根轨迹的时候，哎，在绘制根轨迹的时候呢，要注意，我们可以用一方面用特征方程向角条件。
以及绘制规则来绘制啊，来绘制。
但是对于三阶以上的系统，对于三阶以上的系统。
如果我们想通过求解特征方程找到特征方程的解与参变量之间的关系，然后呢，把它的关系式用曲线来表示。
利用这种方法来绘制的时候是非常麻烦的，所以一般遇到了三阶以上的高阶系统，我们只是应用绘制规则来绘制，那来绘制。
其中呢，在180度跟轨迹和0度跟轨迹的绘制过程当中，那一般的规则是完全一样的，它的区别只在于三个不同点。
这三个不同点的原因在于，180度跟轨迹和0度跟轨迹所有的扶持条件。
对应的扶持条件是完全一样的，他们的区别只是出现在了向角条件当中。
啊，只是出现在了向角条件当中，所以我们只需要把九条绘制规则当中与向角条件有关的绘制规则呢。
做一下改变就可以了，那么这三条规则啊，这三条规则分别是什么呢？
第一个。
在180度的根轨迹绘制过程当中，实轴上的根轨迹区域，我们是如何来界定的呢？
我们认为，如果实轴上它的某段，某段区域，那某段区域，它的右侧，那右侧。
所对应的极零点个数之和极零点个数之和。
是奇数是奇数，那么这段区域就是根轨迹所在的区域，比如说。
这段区域。
这段区域它右侧及零点数目之和是三个。
负无穷到它的这段区域极零点数目之和是五个，那么这两段区域就是根轨迹所在的区域。
这是由向角条件那所决定的，而如果这不是一个常规跟轨机，这不是一个常规跟轨机。
而是一个0度跟轨期，那么这个时候呢？
这个条件那这个规则就要发生改变，实轴上我们认为。
这一段区域，它的右侧及零点数目之和是偶数两个，这一段区域。
右侧极零点数目之和是四个偶数，所以这两段区域是根轨迹所在的区域。
那么在这里有没有遗漏呢？
有的在绘制0度跟轨迹的时候，同学们经常会遗漏这一点。
啊，这个极点它右侧的极零点数目之和是00也是偶数，所以这段区域实际上也是根轨迹所在的区域。
好，这是第一点，要发生改变的。
第二点，渐近线的倾角公式有差异。
我们说了，如果现在极点的数目多于零点的数目。
那么这个时候呢，肯定有根诡疾，他会趋向于无穷，远处趋向于无穷远处。
那么趋于无穷远处，它就会沿着某一个渐近线来，趋于无穷远处。
如果是180度跟轨迹。
渐近线与实轴的夹角，渐近线与实轴的夹角，如果我们用啊。
阿尔法来表示的话，那么这个渐近线与时轴的夹角就应该等于啊，如果是180度跟轨迹，那么它就应该等于。
正负的二k+1派，正负的二k+1派，除以除以。
所有的开环起点数目之和减去所有的开环零点数目之和。
那么，如果现在绘制的不是180度跟轨迹，而是0度跟轨迹，那么在这里向角条件发生了改变。
变成了什么呢？
正负的2k派啊，正负的2k派，所以这一点要做一下区分。
再有初射角和入射角，这个出射角和入射角通常针对的是什么呢？
针对的是？
是在抚平面当中，抚平面当中成对出现的共额的复数及零点。
那么，从它出发，会涉及到沿着个什么样的方向呢？
沿着出射角的方向啊，沿着出射角的方向。
那么进入了这个零点以后，究竟沿着什么样的方向进入呢？
要沿着入射角的方向。
这个出射角和入射角在计算的时候注意180度跟轨，集计算的时候呢，前面应该是。
正负二k+1。
派再减去那减去所有的其他的几点出射角那？
哎，减去所有的其他几点距离这个出射点它的角度之和再来加上所有的零点距离，这个出射点的角度之和。
那么在0度跟轨迹的时候，注意这个负正负的二k+1派就变了，变成了正负的2k派啊，这里是有差异的，那是有差异的。
这是我们根轨迹绘制规则当中啊，出现的在180度和0度根轨迹的时候呢，三个不同的地方啊，三个不同的地方。
想要正确的绘制根轨迹，必须要牢记这些根轨迹的绘制规则，而且呢，要会正确的使用，那正确的使用。
当然，要想准确的绘制出来根轨迹，我们还要啊！
记住某一些典型的根轨迹图，比如说这个啊！
要格外注意一下。
二阶系统如果具有一个或者两个开环零点的时候。
啊，二阶系统如果具有一个或者两个开环零点的时候，如果它的复数部分。
存在了根轨集，那么它的复数部分的根轨集呢？
通常是圆或者一段圆弧。
什么意思呢？
我们来看一下。
这是一个只有两个极点的系统，二阶系统，如果它存在一个开环零点。
那么按道理说，根轨迹呢？
它会从开环起点出发，走到开环零点，但是呢，只存在一个有限的开环零点，所以有一条根轨迹，一定会终于无穷远处。
那么，这两条根轨迹将会如何分布呢？
诶，一个。
终于了，有限零点。
还有一个呢，终于了无限零点无限零点，那么这个时候所对应的根轨集在俯平面当中的部分。
将会是啊，一段圆弧，而如果它存在两个开环零点，比如说这种情况。
我们刚才提到了啊，提到了一对复数几点一对复数零点？
那么此时所对应的根轨迹呢？
通常。
是这样的，两个小圆弧啊，小圆弧这一点从我们拿到系统以后，从他的吉林点分布当中，我们应该。
很快的，能够反映到那反映到在绘制跟轨迹的时候，我们通常采用什么样的思路呢？
我们来。
来一起看一下这个图。
拿到了系统以后，如果已知了它的条件，已知了它的条件，也就是说系统的结构已经知道了。
我们可以求出来系统的特征方程，这个特征方程实际上就是跟轨迹方程。
对根轨迹方程做一下变形，这个变形主要是针对于参数根轨迹的。
也就是说，如果拿到了系统以后，我们发现这个参变量不是跟轨迹增益或者不是开环增益。
那么这个时候我们可以把它变作和根轨迹增益开环增益相同的形式，也就是说找到它的等效开环传递函数。
把这个参变量呢独立出来，找到等效开环传递函数。
然后我们接着来观察一下这个系统，在这里究竟出现的是正号呢还是负号？
也就是说，我们要判断，我们要绘制的系统，它究竟是180度跟轨迹系统？
呢，还是0度跟轨迹系统做了判断以后，如果是180度的跟轨迹系统，我们需要进一步来确定。
它的开环极零点的数目，如果开环极点的数目是大于了开环零点的数目。
一般情况下，吉林点呢？
在俯平面当中，都是成对出现的。
如果大于等于二，那么意味着在系统当中，在系统当中。
肯定有跟鬼集会。
终于无穷，远处要终于无穷，远处就一定要来进一步计算它的渐近线啊，渐近线。
渐近线计算出来了以后，我们可以按照其他的规则，比如说计算出射角呀，入射角呀和虚轴是否相交呀？
哎，按照规则，接着画下去。
而如果在刚才这里出现的啊根轨迹特征方程当中出现的符号是负号是负号。
那么这个时候呢？
系统将会是0度跟轨机，0度跟轨机，它的绘制呢过程是和180度跟轨迹的绘制过程。
一样的，只不过在刚才提到的这三个规则，这个地方呢，要做一下具体的调整啊，要做一下具体的调整。
这是我们绘制根轨迹，它的思路绘制出来，根轨迹以后没有完绘制的目的，是为了对系统进行分析。
这个分析呢，我们在哎结构图系统脉络里面，我们提到过了，包括定性的分析和定量的分析。
我们来再详细的看一下定性的分析，第一个方面分析它的稳定性稳定性。
这个稳定性，我们只要判断一下根轨迹是不是全部分布在的左半平面。
如果我们画出来的所有闭环根轨集，全部分布在s的左半平面，那么这个时候系统它是稳定的啊，是稳定的。
否则的话，如果和虚轴相交，它处于临界稳定，穿越了虚轴，进入到了右半平面系统呢，就会处于不稳定的状态，这是第一个方面。
第二个方面，快速性啊，快速性，那么快速性呢？
我们是这样来界定的，如果闭环极点，它距离虚轴越远。
那么这个时候呢，快速性越好啊，快速性越好，所以如果我们想利用根轨迹来改善，或者说调整系统的性能的时候。
想要让系统的快速性越好，我们应该尽量呢，让闭环几点？
它们之间的距离加大距离加大。
让零点呢靠近极点，让零点靠近极点的目的在哪里呢？
我们在第三章当中提到了一个重要的概念。
叫做偶极子啊，偶极子什么叫做偶极子呢？
我们认为如果有一对极零点，它们之间彼此非常靠近。
同时，距离其他的几点呢？
相对来说，位置比较远，那么这个时候由于零极点，一个在分子当中，一个在分母当中它。
它们之间的相互作用是可以抵消的，所以如果如果我们出现了远离虚轴的几点。
这个时候我们可以考虑增加一个远离虚轴的零点，让这对极零点之间呢，比较靠近，这样的话可以改善系统的啊，快速性。
这是一个方面，再有第三个定性分析的方面出现在了它的平稳性，这里平稳性这里呢，我们在一开始提到了一个概念。
叫做阻尼角，所谓的阻尼角呢？
是指？
当系统如果主导几点已经确定以后，可是主导几点确定的时候呢，又会出现两种情况一个。
主导几点？
它是一个实数，几点？
也就是说，它只是一个负实数。
在这种情况下，高阶系统可以等效为一个一阶系统。
而一阶系统呢？
一般是没有超调量的，所以我们不讨论它的相对平稳性，而如果是高阶系统，它存在了一对共恶的主导基点。
这个时候，这一对共阿主导极点，它与坐标原点的连线，与副时轴逆时针方啊，顺时针方向。
它的角度，它的角度，我们用贝塔来计算的时候呢，这个贝塔的角度，它的大小直接影响到了阻尼比的大小。
而阻尼比的大小直接影响到了二阶系统超调量的大小，所以在这种情况下啊，我们如果想要同时兼顾。
快速性和平稳性。
那么，通常我们选择的阻尼角为45度，而当阻尼角为45度的时候呢？
所对应的阻尼比是0.707，这也是我们在前面提到过的最佳阻尼比啊。
最佳阻尼比。
除了定性分析之外，哎，我们还会在这一章遇到利用根轨集对系统来进行定量的计算，那定量的计算。
那么，定量计算通常指的是高阶系统，对高阶系统，它的展态性能指标来进行估算。
此类的考题呢？
在考研试题当中，越来越多啊，越来越多。
而此类试题在考察的时候与主导几点的概念是密不可分的。
最常见的考察形式呢，有两种，一种给你了系统的最佳阻尼比，也就是说如果你的跟轨迹画出来了以后。
但画出来了以后。
那么这个时候我给你了最佳阻尼比也就知道了，现在这个阻尼角贝塔等于45度。
那么，在这种情况下，如何从我们的根轨集当中来找对应的闭环？
几点这种考察形式很常见。
再有，如果告诉你，阻尼比等于0.5，或者反过来告诉你，超调量等于16.3%，这是在上一那上一章的复习当中，我要求大家记住的。
如果超调量是16.3%，那么这个时候阻尼比就是45啊，0.5而阻尼比如果等于0.5，那么这个时候呢，所对应的阻尼角。
等于60度啊，等于60度，那么在这种情况下，闭环起点又该如何计算？
那又该如何计算？
这这种计算呢？
我们可以根据所对应的阻尼角。
过s平面的坐标原点来做一条直线，这一条直线与根轨迹的交点就是我们要求的闭环极点。
这种考察类型现在在考研当中非常频繁的出现啊，非常频繁的出现，这是我们对于啊。
第四章，它的一些知识脉络以及呢？
它的重要知识点做了一下复习，那么这一讲呢？
我们就讲到这里，谢谢大家！