图 3-9 \(K=5\) 时系统单位阶跃响应曲线（MATLAB）
图 3-10 \(K=8\) 时系统单位阶跃响应曲线（MATLAB）
3-16 试确定图 3-11 所示系统的稳定性。
图 3-11 控制系统结构图
解 根据图 3-11 可得闭环系统的特征方程为
\[D(s)=s(s+1)+10\cdot(10s+1)=s^2+101s+10=0\]
利用劳斯稳定判据来判定系统的稳定性,列出劳斯表如下：
| \(s^2\) | 1 | 10 |
| \(s^1\) | 101 | |
| \(s^0\) | 10 |
由上表可见,劳斯表中的第一列元素全部大于零,所以系统稳定。
MATLAB 程序：exe316.m
den1=[1 101 10]; p1=roots(den1)
系统的特征根为：\(p_1=-100.9,-0.1\)
3-17 设系统特征方程如下,试用赫尔维茨判据确定使系统稳定的 \(K\) 的取值范围。
(1) \(s^3+3Ks^2+(K+2)s+4=0\)； (2) \(s^4+4s^3+13s^2+36s+K=0\)；
(3) \(s^4+20Ks^3+5s^2+10s+15=0\)。
解 (1) 利用赫尔维茨稳定判据来判定系统的稳定性。
由特征方程可知 \(n=3\),且 \(a_0=1,a_1=3K,a_2=K+2,a_3=4\)。若系统是稳定的,需要满足条件：① 特征方程的各项系数为正；② \(\Delta_2=a_1a_2-a_0a_3>0\)。即