2-3
设函数 \(f(t)\) 如图2-1所示，试求其拉普拉斯变换式 \(F(s)\)。
解
\[f(t)=1(t)-1(t-T)+\frac{1}{T}t\,1(t)-\frac{1}{T}(t-T)1(t-T)-1(t-T)\]
\[-\frac{1}{T}(t-T)1(t-T)+\frac{1}{T}(t-2T)1(t-2T)+1(t-2T)\]
\[=1(t)-2\times1(t-T)+\frac{1}{T}t-2\frac{1}{T}(t-T)1(t-T)\]
\[+\frac{1}{T}(t-2T)1(t-2T)+1(t-2T)\]
所以
\[F(s)=\frac{1}{s}-2\frac{\mathrm{e}^{-Ts}}{s}+\frac{1}{T}\frac{1}{s^2}-2\frac{1}{T}\frac{\mathrm{e}^{-Ts}}{s^2}+\frac{1}{T}\frac{\mathrm{e}^{-2Ts}}{s^2}+\frac{\mathrm{e}^{-2Ts}}{s}\]
\[=\frac{s+\dfrac{1}{T}}{s^2}-2\frac{s+\dfrac{1}{T}}{s^2}\mathrm{e}^{-Ts}+\frac{s+\dfrac{1}{T}}{s^2}\mathrm{e}^{-2Ts}=\frac{Ts+1}{Ts^2}(1-\mathrm{e}^{-Ts})^2\]
图2-1 函数 \(f(t)\) 的波形图
2-4
求图2-2所示函数 \(f(t)\) 的拉普拉斯变换式 \(F(s)\)。
解 (1) 图2-2(a)
\[F(s)=\mathscr{L}[f(t)]=\int_0^{+\infty}f(t)\mathrm{e}^{-st}\mathrm{d}t\]
\[=\int_0^{t_0}2\mathrm{e}^{-st}\mathrm{d}t+\int_{t_0}^{+\infty}(t-t_0+2)\mathrm{e}^{-st}\mathrm{d}t\]
\[=\int_{t_0}^{+\infty}t\mathrm{e}^{-st}\mathrm{d}t-t_0\int_{t_0}^{+\infty}\mathrm{e}^{-st}\mathrm{d}t+2\int_0^{+\infty}\mathrm{e}^{-st}\mathrm{d}t\]
\[=-\frac{1}{s}\left[-t_0\mathrm{e}^{-t_0 s}+\frac{1}{s}(0-\mathrm{e}^{-t_0 s})\right]-\frac{t_0}{s}\mathrm{e}^{-t_0 s}+\frac{2}{s}\]
\[=\frac{2}{s}+\frac{1}{s^2}\mathrm{e}^{-t_0 s}\]
(a)
(b)
(c) 半波正弦
(d)
图2-2 函数 \(f(t)\) 的波形图
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