北方工业大学《控制理论基础》阶段考试卷（2）

北方工业大学

《控制理论基础》阶段考试卷（2）

2015 年春季学期能源专业

开课学院：机电　　考试方式：闭卷　　考试时间：100 分钟

序号：____

班级：能源13-2（手写，字迹潦草，见 uncertain）　　姓名：张广斌（手写，字迹潦草，见 uncertain）　　学号：1310802023（手写，字迹潦草，见 uncertain）

一、（20分）

已知系统闭环传递函数 \(\Phi(s) = \dfrac{0.8}{s^2 + 2s\zeta + 1}\)；

当输入 \(r(t) = 5\sin t\) 时，系统稳态输出的最大幅值为10。

(1) 确定系统传递函数中 \(\zeta\) 的值。

(2) 当 \(r(t) = R_m \sin \alpha t\) 时，求系统稳态输出 \(y(t)\)（写出表达式即可）

（以下为原卷手写解答内容，忠实誊写，字迹潦草处已在 uncertain 中标注）

\(w=1,\ \sqrt{1-\zeta^2}\)（手写，位置在题干下方）

\(|\Phi(j\omega)|_{\omega=1} = \dfrac{10}{5} = 2\) ①

\(-j\cdot -j = -1\)

\(R(s) = \dfrac{5}{s^2+1}\)

\(1\cdot r(t) = 5\sin t \quad \therefore R(s) = \dfrac{5}{s^2+1}\)

\(C(s) = R(s)\Phi(s) = \dfrac{5}{s^2+1}\cdot\dfrac{0.8}{s^2+2s\zeta+1} = \dfrac{4}{(s^2+1)(s^2+2s\zeta+1)}\)

\(R(s) = \dfrac{5}{s^2+1}\)

\(|\Phi(s)| = \dfrac{y}{R_m}\)

\(|G(j\omega)| =\)

\(\Phi(j\omega) = \dfrac{0.8}{-\omega^2+j2\omega\zeta+1}\)

\(|\Phi(j\omega)| = \dfrac{0.8}{\sqrt{(1-\omega^2)^2+4\omega^2\zeta^2}} = \dfrac{0.8(1-\omega^2-j2\omega\zeta)}{(1-\omega^2)^2+(2\omega\zeta)^2} = \dfrac{0.8(1-\omega^2)-j\,\text{(项)}}{[(1-\omega^2)^2+(2\omega\zeta)^2]}\Big/\sqrt{[(1-\omega^2)^2+(2\omega\zeta)^2]}\)（该段推导笔迹密集重叠，公式内容按最佳辨认誊写，见 uncertain）

\(\varphi(j\omega) = -\tan^{-1}\dfrac{2\zeta\omega}{1-\omega^2}\)

\(\varphi(j\omega) = -\dfrac{\pi}{2}\)

\(\therefore \dfrac{0.8}{\sqrt{4\zeta^2}} = y \quad \therefore y = \dfrac{4}{\sqrt{4\zeta^2}}\)

代题 \(\omega=1\)，\(\therefore |\Phi(j\omega)| = \dfrac{0.8}{\sqrt{4\zeta^2}} = 2\)

\(\therefore \zeta = 0.2\)

\(\therefore c(t) = \dfrac{4}{\sqrt{4\zeta^2}}\cdot \sin\!\left(t-\dfrac{\pi}{2}\right)\)，\(\because\) 幅值为10，即 \(\dfrac{1}{\sqrt{4\zeta^2}}=10\)

(2)

\(c(t) = R_m\sin\alpha t \cdot |\Phi(j\omega)| = \dfrac{0.8R_m}{\sqrt{(1-\alpha^2)^2+4\zeta^2}}\cdot \dfrac{0.8R_m}{\sqrt{(1-\alpha^2)^2+4\alpha^2\zeta^2}}\cdot \sin\!\left(\alpha t - \tan^{-1}\dfrac{2\zeta\alpha}{1-\alpha^2}\right)\)（该行末段公式书写重叠潦草，见 uncertain）

\(\omega = 2\)

\(-180^\circ + \tan^{-1}\dfrac{0.4\alpha}{\alpha^2-1}\)，\(\alpha \geqslant 1\)（手写片段，与上文对应关系不明确，见 uncertain）

北方工业大学试卷　　第1页　共6页

二、（20分）

已知线性系统开环传递函数为 \(G(s) = \dfrac{4}{s(s+1)^2}\)　（手写标注：Ⅰ型三阶系统）

（手写：奈氏图）

(1) 绘制系统的开环幅相曲线，计算并标注与坐标轴相交点的值，

(2) 根据绘制的 Nyquist 曲线，判断该反馈控制系统的稳定性。注意增补曲线的绘制

（以下为原卷手写解答内容）

\(\angle = -180^\circ\)，当 \(\omega=1\)（手写标注）

解：\(\varphi(\omega) = -90^\circ - 2\tan^{-1}\omega\)

\(\therefore\) 起于 \(-90^\circ\)，终于 \(-270^\circ\)

\(G(j\omega) = \dfrac{4}{j\omega(j\omega+1)^2} = \dfrac{4}{-2\omega^2+j(\omega-\omega^3)} = \dfrac{4(-2\omega^2-j(\omega-\omega^3))}{4\omega^4+(\omega-\omega^3)^2}\)

\(\therefore\) 与负实轴交点 \((-2,\,0j)\)

（虚部为0，\(\omega=1\) 或 \(2\)）（此行括号内文字潦草，见 uncertain）

\(\therefore\) 开环频率特性曲线（图见下方裁图）

\(|X-90^\circ|=-90^\circ\)

\(\varphi(\omega) = -\pi\)

\(|G(j\omega)|\)

\(\omega \to \infty\)

\(\omega \to 0^+ \checkmark\)（右侧潦草片段，见 uncertain）

零、极点分布：\(P=0\)（手写标注，见 uncertain）

\(Z = P - R\)　　阶跃冲击函数（原文如此，学生笔误可能为"闭环右极点数"，照抄不纠正）

\(= 0 - 2(0-1) = 2 \quad \therefore\) 不稳定

北方工业大学试卷　　第2页　共6页

三、（20分）

某单位反馈的最小相位系统的开环 Bode 图如示，

(1) 写出开环系统的频率特性表达式

(2) 从图上读出开环截止频率的值

(3) 写出该系统相角裕量的表达式（不用计算），并说明如何根据对数稳定判据判断该闭环系统稳定性

（本题所述"开环Bode图"未出现在本页图像范围内，推测在后续页码，本页只有题干及零星手写片段，内容不完整，见 uncertain）

（以下为本页范围内可见的零星手写片段，与上题或本题对应关系不明，照原样誊写）

\(=\dfrac{0.8}{\sqrt{4\zeta^2}} = 2.\)

\(\zeta = 0.2\)

\(\dfrac{1}{5}\)

\(= 10.\)

\(2\sqrt{1/(2)}\)（潦草，见 uncertain）

\(\dfrac{2}{\sqrt{2}}\)，\(2\varsigma1\)用（潦草，见 uncertain）

\(71.\)（潦草片段，见 uncertain）