\[
\frac{\Theta_o(s)}{\Theta_i(s)} = \dfrac{\dfrac{G_1 G_2 G_3 G_4 G_5 G_6}{(1+G_1 G_2 H_1+G_2 G_3 H_2+G_1 G_2 G_3 G_4)(1+G_5 H_4-G_5 G_6 H_3)}}{1+\dfrac{G_1 G_2 G_3 G_4 G_5 G_6 H_5}{(1+G_1 G_2 H_1+G_2 G_3 H_2+G_1 G_2 G_3 G_4)(1+G_5 H_4-G_5 G_6 H_3)}}
\]
\[
= \frac{G_1 G_2 G_3 G_4 G_5 G_6}{(1+G_1 G_2 H_1+G_2 G_3 H_2+G_1 G_2 G_3 G_4)(1+G_5 H_4-G_5 G_6 H_3)+G_1 G_2 G_3 G_4 G_5 G_6 H_5}
\]
图 2-61 系统简化结构图
又解 可用信号流图方法对结果进行验证。
图 2-58 系统的信号流图如图 2-62 所示。
图 2-62 控制系统信号流图
由图可知，本系统有一条前向通道，六个单独回路，有六对互不接触回路，即
\[
L_1=-G_1 G_2 H_1,\quad L_2=-G_2 G_3 H_2,\quad L_3=-G_5 H_4,\quad L_4=G_5 G_6 H_3
\]
\[
L_5=-G_1 G_2 G_3 G_4,\quad L_6=-G_1 G_2 G_3 G_4 G_5 G_6 H_5
\]
其中，\(L_1\) 与 \(L_3\) 不接触，\(L_1 L_3=G_1 G_2 G_5 H_1 H_4\)；\(L_2\) 与 \(L_3\) 不接触，\(L_2 L_3=G_2 G_3 G_5 H_2 H_4\)；\(L_1\) 与 \(L_4\) 不接触，\(L_1 L_4=-G_1 G_2 G_5 G_6 H_1 H_3\)；\(L_2\) 与 \(L_4\) 不接触，\(L_2 L_4=-G_2 G_3 G_5 G_6 H_2 H_3\)；\(L_5\) 与 \(L_3\) 不接触，\(L_3 L_5=G_1 G_2 G_3 G_4 G_5 H_4\)；\(L_5\) 与 \(L_4\) 不接触，\(L_4 L_5=-G_1 G_2 G_3 G_4 G_5 G_6 H_3\)；
\[
\Delta = 1-\sum_{i=1}^{6} L_i + L_1 L_3+L_2 L_3+L_1 L_4+L_2 L_4+L_3 L_5+L_4 L_5
\]
\[
= (1+G_1 G_2 H_1+G_2 G_3 H_2+G_1 G_2 G_3 G_4)(1+G_5 H_4-G_5 G_6 H_3)+G_1 G_2 G_3 G_4 G_5 G_6 H_5
\]
\[
p_1 = G_1 G_2 G_3 G_4 G_5 G_6,\qquad \Delta_1 = 1
\]
由梅森增益公式可得系统的传递函数为
\[
\frac{\Theta_o(s)}{\Theta_i(s)} = \frac{\sum p_i \Delta_i}{\Delta} = \frac{G_1 G_2 G_3 G_4 G_5 G_6}{(1+G_1 G_2 H_1+G_2 G_3 H_2+G_1 G_2 G_3 G_4)(1+G_5 H_4-G_5 G_6 H_3)+G_1 G_2 G_3 G_4 G_5 G_6 H_5}
\]
2-38 多环交叉反馈系统的结构图如图 2-63 所示，试求系统传递函数 \(C(s)/R(s)\) 和 \(C(s)/E(s)\)。
解 经过串联等效，可得简化结构图，如图 2-64 所示。
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