9-12 已知系统的状态矩阵
(1) \(\mathbf{A}=\begin{bmatrix}-1 & 0 & 0\\0 & -2 & 0\\0 & 0 & -3\end{bmatrix}\)； (2) \(\mathbf{A}=\begin{bmatrix}2 & -1 & -1\\0 & -1 & 0\\0 & 2 & 1\end{bmatrix}\)；
(3) \(\mathbf{A}=\begin{bmatrix}-2 & 1 & 0 & 0\\0 & -2 & 1 & 0\\0 & 0 & -2 & 1\\0 & 0 & 0 & -2\end{bmatrix}\)； (4) \(\mathbf{A}=\begin{bmatrix}-2 & 1 & 0 & 0\\0 & -2 & 0 & 0\\0 & 0 & -2 & 1\\0 & 0 & 0 & -2\end{bmatrix}\)。
试求系统的状态转移矩阵 \(\boldsymbol{\Phi}(t)\)。
解 (1) 由于 \(\mathbf{A}\) 为对角阵，且具有互异元素，利用矩阵指数函数的性质可得
\[\boldsymbol{\Phi}(t)=\begin{bmatrix}\mathrm{e}^{-t} & 0 & 0\\0 & \mathrm{e}^{-2t} & 0\\0 & 0 & \mathrm{e}^{-3t}\end{bmatrix}\]
(2) 利用拉普拉斯反变换法求解。由于
\[(s\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})^{-1}=\begin{bmatrix}s-2 & 1 & 1\\0 & s+1 & 0\\0 & -2 & s-1\end{bmatrix}^{-1}\]
\[=\frac{1}{(s-1)(s-2)(s+1)}\begin{bmatrix}(s+1)(s-1) & -(s+1) & -(s+1)\\0 & (s-1)(s-2) & 0\\0 & 2(s-2) & (s+1)(s-2)\end{bmatrix}\]
\[=\begin{bmatrix}\dfrac{1}{s-2} & \dfrac{1}{s-1}-\dfrac{1}{s-2} & \dfrac{1}{s-1}-\dfrac{1}{s-2}\\[2mm]0 & \dfrac{1}{s+1} & 0\\[2mm]0 & \dfrac{1}{s-1}-\dfrac{1}{s+1} & \dfrac{1}{s-1}\end{bmatrix}\]
\[\boldsymbol{\Phi}(t)=\mathscr{L}^{-1}\big[(s\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})^{-1}\big]=\begin{bmatrix}\mathrm{e}^{2t} & -\mathrm{e}^{2t}+\mathrm{e}^{t} & -\mathrm{e}^{2t}+\mathrm{e}^{t}\\0 & \mathrm{e}^{-t} & 0\\0 & -\mathrm{e}^{-t}+\mathrm{e}^{t} & \mathrm{e}^{t}\end{bmatrix}\]
(3) 由于 \(\mathbf{A}\) 阵为约当阵，存在一个约当块，利用矩阵指数函数的性质可得
\[\boldsymbol{\Phi}(t)=\begin{bmatrix}\mathrm{e}^{-2t} & t\,\mathrm{e}^{-2t} & \dfrac{1}{2}t^{2}\mathrm{e}^{-2t} & \dfrac{1}{6}t^{3}\mathrm{e}^{-2t}\\[2mm]0 & \mathrm{e}^{-2t} & t\,\mathrm{e}^{-2t} & \dfrac{1}{2}t^{2}\mathrm{e}^{-2t}\\[2mm]0 & 0 & \mathrm{e}^{-2t} & t\,\mathrm{e}^{-2t}\\[2mm]0 & 0 & 0 & \mathrm{e}^{-2t}\end{bmatrix}\]
(4) 由于 \(\mathbf{A}\) 阵为约当阵，存在两个约当块，利用矩阵指数函数的性质可得
\[\boldsymbol{\Phi}(t)=\begin{bmatrix}\mathrm{e}^{-2t} & t\,\mathrm{e}^{-2t} & 0 & 0\\0 & \mathrm{e}^{-2t} & 0 & 0\\0 & 0 & \mathrm{e}^{-2t} & t\,\mathrm{e}^{-2t}\\0 & 0 & 0 & \mathrm{e}^{-2t}\end{bmatrix}\]
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