3-9 对下列方程：\(s^4+Ks^3+s^2+s+1=0\)，试用劳斯判据确定使系统稳定的 \(K\) 值范围（\(K\) 为正实数）。
解 利用劳斯稳定判据来判定系统的稳定性，列出劳斯表如下所示：
| \(s^4\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) |
| \(s^3\) | \(K\) | \(1\) | |
| \(s^2\) | \((K-1)/K\) | \(1\) | |
| \(s^1\) | \(-(K^2-K+1)/(K-1)\) | ||
| \(s^0\) | \(1\) |
欲使系统稳定，须有
\[\begin{cases} K>0 \\ K-1>0 \\ K^2-K+1<0 \end{cases} \Rightarrow K \text{ 不存在}\]
故使系统稳定的 \(K\) 不存在。
3-10 设单位反馈系统的开环传递函数 \(G(s)=\dfrac{K^*}{s(s+1)(s+2)}\)，试确定使系统稳定的 \(K^*\) 值范围。
解 根据系统的开环传递函数可得闭环系统的特征方程为
\[D(s)=s(s+1)(s+2)+K^*=s^3+3s^2+2s+K^*=0\]
可利用劳斯稳定判据来判定系统的稳定性，列出劳斯表如下所示：
| \(s^3\) | \(1\) | \(2\) |
| \(s^2\) | \(3\) | \(K^*\) |
| \(s^1\) | \((6-K^*)/3\) | |
| \(s^0\) | \(K^*\) |
欲使系统稳定，须有
\[\begin{cases} 6-K^*>0 \\ K^*>0 \end{cases} \Rightarrow 0<K^*<6\]
故使系统可得稳定的 \(K^*\) 范围为 \(0<K^*<6\)。
3-11 在图 3-3 所示系统中，\(\tau\) 取何值系统才能稳定？
图 3-3 控制系统结构图
解 根据图 3-3 可得闭环系统的特征方程为