解 令 \(s=u-1\)，则

令 \(u=\mathrm{j}\omega\)，其开环频率特性为

幅相特性曲线的起点：\(G(\mathrm{j}0_+)=-6K-\mathrm{j}\infty\)。

幅相特性曲线的终点：\(G(\mathrm{j}\infty)=0\)。

幅相特性曲线与实轴的交点：令 \(\mathrm{Im}[G(\mathrm{j}\omega)]=0\)，解得

其概略幅相特性曲线如图5-102所示。

因为 \(v=1\)，在幅相特性曲线上 \(\omega=0_+\) 的对应点起逆时针补作 \(90°\) 且半径为无穷大的虚圆弧。而 \(G(s)\) 在 \(s\) 右半平面的极点数 \(P=0\)；若使变换后的系统稳定，则应有

所以，若使系统闭环极点都具有小于 \(-1\) 的实部，原系统增益 \(K\) 的最大值为 \(0.75\)。

图5-102 \(G(\mathrm{j}\omega)=\dfrac{K}{\mathrm{j}\omega(\mathrm{j}\omega+0.5)(\mathrm{j}\omega+1)}\) 的概略幅相特性曲线

MATLAB 验证：令 \(K\) 分别等于 \(0.5\)，\(0.75\) 和 \(1.0\)，可求出闭环极点如下：

\(K=0.5\) 时，系统闭环极点为：\(s_1=-2.3982\)，\(s_2=-1.0509+\mathrm{j}0.5958\)，\(s_3=-1.0509-\mathrm{j}0.5958\)。

\(K=0.75\) 时，系统闭环极点为：\(s_1=-2.5\)，\(s_2=-1+\mathrm{j}0.7071\)，\(s_3=-1-\mathrm{j}0.7071\)。

\(K=1\) 时，系统闭环极点为：\(s_1=-2.5832\)，\(s_2=-0.9584+\mathrm{j}0.7937\)，\(s_3=-0.9584-\mathrm{j}0.7937\)。

MATLAB 文本：exe554.m

K1=0.5;K2=0.75;K3=1;
p1=[1,4.5,6.5,3+K1];
p2=[1,4.5,6.5,3+K2];
p3=[1,4.5,6.5,3+K3];
root1=roots(p1);
root2=roots(p2);
root3=roots(p3);

5-55 设单位反馈系统开环传递函数如下，试用奈奎斯特判据判断闭环系统稳定性：

(1) \(G(s)=\dfrac{250(s+1)}{s^2(s+5)(s+15)}\)；　(2) \(G(s)=\dfrac{(s+1)^2}{s^2(3s+1)(0.1s+1)^2}\)；