根据以上分析,画出系统的闭环根轨迹如图4-137所示。

由系统的根轨迹可知:当\(0<K<1\)时,系统不稳定,\(c_n(t)\)发散;而当\(K>1\)时,系统稳定,\(c_n(t)\)收敛;当\(K\)值在\(K>1\)基础上继续增大时,系统的稳定性变好,\(c_n(t)\)收敛加快;当\(K\to\infty\)时,系统的阻尼比趋近于0.707,响应\(c_n(t)\)的振荡性减弱,系统的调节时间减小,快速性得到改善。

图4-137 \(1+\dfrac{K(s+1+j)(s+1-j)}{s^3}=0\) 概略参数根轨迹图

仿真曲线如图4-138～图4-140所示。

MATLAB程序:exe440.m

% 绘制参数根轨迹

G=zpk([-1 -i -1+i],[0 0 0],1);                    figure(1),           rlocus(G);
%K=2时 系统的单位阶跃扰动响应
numg=[2];                    deng=[1 0 0 0];   numf=[1 2 2];     denf=[0 0 1];
[num1,den1]=feedback(numg,deng,numf,denf);   sys1=tf(num1,den1);   t=0:0.01:20;
figure(2),                   step(sys1,t);      grid
%K=20时 系统的单位阶跃扰动响应
numg=[20];                   deng=[1 0 0 0];   numf=[1 2 2];     denf=[0 0 1];
[num2,den2]=feedback(numg,deng,numf,denf);   sys2=tf(num2,den2);   t=0:0.01:20;
figure(3),                   step(sys2,t);      grid

图4-138 \(1+\dfrac{K(s+1+j)(s+1-j)}{s^3}=0\) 参数根轨迹图(MATLAB)

设\(K\)值分别取为\(K=2\)和\(K=20\),应用MATLAB软件包可得系统单位阶跃扰动响应曲线如图4-139和图4-140所示,其动态性能如下:

\(K=2\)时,　\(\sigma\%=24.6\%\);　\(t_p=2.49\text{s}\);　\(t_s=9.95\text{s}\)　\((\Delta=2\%)\)

\(K=20\)时,　\(\sigma\%=4.35\%\);　\(t_p=3.03\text{s}\);　\(t_s=4.05\text{s}\)　\((\Delta=2\%)\)

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