由于 \(a>1\),故:

① 根轨迹的分支和起点与终点:由于 \(n=2,m=1,n-m=1\),故根轨迹有两条分支,其起点分别为 \(p_1=0,p_2=-1\),其终点分别为 \(z_1=-a\) 和无穷远处。

② 实轴上的根轨迹分布区:\([-1,0],(-\infty,-a]\)。

③ 根轨迹的分离点:根轨迹的分离点坐标满足

解得

由以上分析绘制系统的根轨迹如图 4-145 所示。

仿真曲线如图 4-146 所示。

MATLAB 程序: exe443.m

G=zpk([-4],[0 -1],1); figure, rlocus(G);

图 4-145 \(1+\dfrac{K^*(s+a)}{s(s+1)}=0\ (a>1)\)

概略根轨迹图

图 4-146 \(1+\dfrac{K^*(s+4)}{s(s+1)}=0\ (a=4)\)

根轨迹图(MATLAB)

4-44 已知系统开环传递函数 \(G(s)=\dfrac{K^*}{(s+1)(s+2)(s+3)(s+4)}\),若 \(s=0\) 为系统闭环根轨迹上的一点,试绘制系统闭环根轨迹图。

解 系统的开环传递函数为

由于 \(s=0\) 为系统闭环根轨迹上的一点,故该系统的闭环根轨迹必为零度根轨迹。

① 根轨迹的分支和起点与终点:由于 \(n=4,m=0,n-m=4\),故根轨迹有两条分支,其起点分别为 \(p_1=-1,p_2=-2,p_3=-3,p_4=-4\),其终点分别为无穷远处。

② 实轴上的根轨迹分布区:\([-4,-\infty),[-2,-3],[-1,+\infty)\)。

③ 根轨迹的渐近线:\(\sigma_a=\dfrac{-1-2-3-4}{4}=-2.5,\ \varphi_a=\pm\dfrac{\pi}{2}\)。