各位同学大家好，欢迎来到考试点，今天呢，我们将接着前两讲来复习，自动控制原理的第七章。离散系统的分析与矫正，我们在前面所讨论的所有的系统呢，都是线性的连续系统。那么，线性的连续系统呢？是可以用线性的未分方程来描述的时域当中的数学模型，是未分方程。由此得到了一系列啊，像传递函数啊，动态结构图啊等等，这样形式的频率特性，这样的数学模型。而我们在这一章所讨论的系统呢，发生了改变，变成了线性的离散系统啊，线性的离散系统，那么线性的离散系统，它的数学模型是和线性连续系统不一样的。

微分对于离散信号不能适用，所以呢，我们引入了时域当中新的数学模型差分方程。由此啊，传递函数这样的一个概念，对于离散系统也不能适用，因为传递函数呢，是建立在拉式变换的基础上的，而我们的离散信号是不能直接来求拉式变换的。由此引入了一种新的数学变换，叫做z变换，利用z变换呢？我们可以同样的在抚平域当中建立一种类似于。传递函数的数学模型叫做脉冲传递函数来分析一个离散系统的性能，所以这一章的知识点和前面几章的知识点呢，彼此之间关联并不是太大，那并。

不是太大，但是呢，前面的分析方法在离散系统的分析当中，我们仍然是可以用到的，那仍然是可以用到的。下边我们先来看一下这一章，它的知识架构那这一章的知识架构那么首先我们要了解离散系统，它的基本概念。什么样的系统叫做离散系统？我们认为只要一个系统当中呢？存在脉冲信号或者是存在了啊，这样的一个数码信号，这样的系统呢就是。采样控制系统或者说理想控制系统，那么这个时候我们要理解一点，只要在一个系统当中。啊某一个环节出现了离散信号，那么这个时候的系统呢，都不再是连续系统了，都是离散系统，而且对于离散系统的概念呢，我们要搞清楚一点。

离散系统和数字系统呢？要有所区分，我们把。这个系统当中出现的离散信号，如果仅仅是在时间上面离散，而在幅值上面连续这样的系统，我们叫它呢离散控制系统，而把这个里边出现的信号是。数码信号这样的系统呢？叫做数字系统啊，数字系统，数字系统呢，是离散控制系统的一种。而我们现在呢？由于提到了离散系统，大部分都是数字系统，所以呢，这两个概念在这里啊，我们在控制里边，基本上是等价的，那基本上是等价的。分析一个离散系统，它采用的数学基础不再是拉式变换和拉式反变换了，而是z变换和z的反变换啊z变换和z的反变换。

那么，在z变换和z的反变换这样的理论里边，我们要掌握这样的两部分内容，一个z变换该如何进行啊？z变换该如何进行？那么常见的。求一个离散信号z变换的方式呢？有两种，一种是级数求和法。啊，一种是集数求和法，还有一种呢是部分分式展开法啊，部分分式法啊，这是我们常用的求一个离散信号z变换的方法。在这里还要注意一点，我们提到，比如说监狱信号，它对应的z变换或者是斜坡信号对应的z变换，那么这句话本身的提法是有问题的。

因为一个连续信号，它本身是不存在z变换的，那么我们之所以这样提，是指把一个监狱信号或者是一个胁迫信号，先做了离散化处理。变成了离散信号以后，求的是离散信号对应的z变换啊，这一点大家要清楚而求z的反变换啊，z的反变换我们通常呢。用到的方法有三种，一种是部分分式法。这就需要我们能够记住一些常见信号，它的z变换啊z变换，此外啊，我们还可以采用密集数的方法啊，密集数的方法只不过在采用密集数的方法的时候。呢，我们往往很难得到一个信号z变换的啊，这样的一个闭合形式的表达式啊，除此之外呢，还会用到啊繁衍积分法。

也就是我们说的流数法，那流数法，但实际上在考试当中，部分分式法和密集数法呢？我们见到的场合会比较多，而这种流数法，我们很少会见到，那很少会见到。这是我们分析离散控制系统所应用的数学基础。那么，在离散系统的分析当中。啊所对应的数学模型，我们刚才说了，是和线性的连续系统有差异的，那有差异的微分方程不能用了。十域当中对应的数学模型叫做差分方程啊，差分方程那么简单的差分方程的求解差分方程解的基本构成要清楚。

比如说，对于一个连续控制系统而言，它最常见的解的构成呢是e的。负at这样的形式，那么也就是说，如果一个稳定的连续系统，那么它要运动的话，常见的运动形式呢？是衰减指数信号。对于离散系统不是这样的啊，离散系统不是这样的，离散系统常见的运动形式呢，是a的n次幂啊，a的n次幂，也就是说级数。是它常见的一种运动形式，那这是时域当中的数学模型，那么抚平域当中的数学模型，我们不再叫做传递函数了，叫做脉冲传递函数。

脉冲传递函数的概念要清楚啊，要清楚所谓的脉冲传递函数，是指在零初始条件下输出的z变换和输入z变换的比值，这个概念呢，清楚以后。我们常见的需要我们来求解的脉冲传递函数，有这样的几种第一个开环脉冲传递函数。那么提到了开环脉冲传递函数，我们要分几种情况来讨论啊？分几种情况来讨论第一种情况，如果在两个。环节。之间不存在采样开关，不存在采样开关，那么这个时候所对应的脉冲传递函数是什么？而如果这两个环节之间存在了一个采样开关，那么对应的脉冲传递函数又是什么？

还有一种常见的情况，在这个系统当中。加了一个临接保持器啊，临接保持器那么临接保持器引入以后系统的脉冲传递函数又该如何来求这三种情况，尤其是这种情况在考察。当中经常会见到后面呢，我们在知识点的啊精讲当中，我们还会提到那还会提到。这是开环脉冲传递函数，那么除此之外，还要能够求闭环脉冲传递函数，那么有些情况下有些离散控制系统，它的闭环脉冲传递函数是可以求出来的。而有些情况下啊，它的脉冲传递函数求不出来，我们只能求出来谁呢？

输出的z变换什么情况？能求什么情况？不能求后边呢？我们也会有例子，这点呢？大家也要掌握那。也要掌握那么脉冲传递函数，除了开环和闭环之外，有些情况下在分析一个离散控制系统的稳态精度的时候呢，还需要能够求出来。误差传递函数，所以及那么误差传递函数，如果不能直接求出来误差与输入之间的z变换表达式，我们也应。应该呢，能够会求解，那能够会求解。这是离散控制系统，它的数学模型啊，离散控制系统的数学模型，那么建立数学模型啊，这一章呢，我们叫做分析。

离散控制系统的分析与设计，那么提到了分析肯定思路是建模，然后呢分析它的性能。不光是连续系统，对于离散系统而言，它的性能也就是那三个方面。第一个稳定性。对于连续控制系统而言，如果要讨论它的稳定性，我们通常用到的是两种数学判据，一种呢，我们叫它劳斯稳定判据，还有一种呢，南回斯特稳定判据，我们分别。在频率和复频率当中，能够判定一个系统的稳定性，对于离散控制系统而言，这个判据呢，出现了变化，出现了变化。首先。

按照z平面和s平面之间的映射关系，z呢等于e的ste的ST。t呢，是它的采样周期。按照这种映射关系，我们发现s平面当中，我们判定一个系统是否稳定，我们是看它的闭环几点。是不是全部分布在s的左半平面，而这个s的左半平面啊s的左半平面？映射到z平面当中，在哪呢？映射到z平面当中，恰好是在一个单位圆。它的内部。唉，在一个单位圆的内部，那么按照这样的一种映射关系，我们可以得到判定一个离散控制系统是否稳定的第一种方法。

如果它所有的闭环特征根z域当中，所有的闭环特征根全部位于单位圆的内部。那么这个时候呢？这个离散控制系统，它是稳定的，除了这种判据之外，我们还可以用到租赁稳定判据租赁稳定判据来判定它的稳定性。此外，劳斯判具能不能用呢？是能用的，我们引入一种双线性变换，引入一种双线性变换，把这个离散控制系统，它的极零点呢？从z。映射到啊omega域当中去，那么这个omega平面呢？和s平面是一样的，是一样的，这样的话，我们仍然能够用劳斯稳定判距来判定系统是。

是否稳定？那朱莉判据。还有呢，劳斯判据啊，我们都会提到那都会提到，这是对于稳定性方面的分析，此外还可以用来分析一个离散控制系统，它的展态过程。展态过程，那么展态过程的性能指标要讨论的时候，我们通常采用这样的思路。拿到了输出的z变换，我们做一个z的反变换得到输出的离散序列啊离散序列。那么，从这个离散序列，它的曲线分布当中，我们可以分析这个系统，它的一些展态过程的性能指标啊，性能指标，这是一种展态过程的分析方法。

还有一种我们拿到了cz输出的z变换，那么这个时候呢，我们可以分析分析，比如说一个系统，它的闭环。脉冲传递函函数，我们已经知道了，我们根据它的极零点分布极零点分布来讨论啊，这个系统它的响应状态后边呢，我们会会给大家详细的讲解。这是第二个方面性能的分析，第三个方面我们要讨论的是它的控制精度啊，控制精度，那么控制精度想要计算它的时候呢，我们通常采用了两种途径。啊，两种途径，第一种和连续系统是一样的，在连续系统当中，如果我们知道了误差的表达式，如果知道了误差的表达式。

而这个表达式呢？我们发现它所对应的时间信号在整个时间域内是处处解析的，那么在这种情况下。我们可以呢，用拉式中值定理啊，用拉式中值定理来讨论一个连续系统的稳态误差，对于理想控制系统一样。如果我们知道了z域内它的误差表达式，那么这个时候我们可以呢，用z域内的或者说z变换的中值定理来分析它的稳态误差。只不过我们要注意一点啊，要注意一点z域内它的拉式中值定理不是s趋近于零了，而是s趋近于。1S趋近于一，也就是说s平面当中，我们判定它是否稳定的这个虚轴，到了z平面当中，对应的是单位圆了，那么这个时候用z- 1。

啊，稳态误差等于z- 1乘，以误差的表达式，这是离散控制系统的稳态误差。同样可以用拉式中心定理来求。此外，在连续控制系统的分析当中，如果误差的zs e表达式知道了。对它求拉式反变换，我们可以得到误差，在时域当中的表达式，而当t趋近于无穷的时候。所得到的结果就是稳态无差，在食欲当中，我们也能够求那么离散。控制系统呢，也是一样的。如果现在我们对误差输出信号做一个z的反变，换z的反变换得到了它在。啊，时日当中的脉冲序列，那么这个时候呢，我们可以通过对它当n趋近于无穷时候的极限。

来求系统的稳态误差，食欲当中，我们一样是可以进行求解的啊，一样是可以进行求解的。那么，除了这样的两种方式时域啊当中的t趋近于无穷的极限和平域当中z趋近于一，这样的极限能够求稳态无差之外。我们说了，在连续控制系统的稳态误差计算当中，我们还有一种方法叫做误差静态误差系数法。那么我们根据这个系统，它对应的静态速度误差，静态位置误差以及静态加速度误差系数可以讨论一个系统在典型信号作用下所对应的稳态误差。那么，对于离散控制系统也是一样的，一个离散控制系统，它的稳态误差和它的开环结构也是有着密切关系的。

如果已知这个系统的开环脉冲传递函数，那么我们利用静态误差系数的计算公式求出来所对应的静态位置速度和加速度误差系数。从而也能够算出来这个系统的稳态误差，这是。对于一个离散控制系统，在建立了它的数学模型以后，三个方面性能的分析再有。我们对于连续控制系统，除了可以在食欲当中分析它的性能之外，也可以借助于根轨迹图来分析一个连续控制系统它的性能。那么，对于离散控制系统而言，可不可以用根轨迹法来分析它的性能呢？

我们发现是一样的。如果z域内的特征方程知道了，我们可以遵循这个特征方程，究竟是遵循180度跟轨迹的绘制规则，还是0度跟轨迹的绘制规则？在z域当中，按照和连续系统相同的绘制规则，绘制出来一个离散控制系统，它的根轨迹图从它的根轨迹曲线当中也可以讨论。三个方面的性能啊，三个方面的性能，那么前面呢？建模也好，分那个分析性能也好，涉及的都是离散系统的分析，那么除了分析之外，在第七章当中，我们还涉及到。了离散控制系统的设计，这个设计呢，主要是设计一个最少派的系统，而这种关于离散控制系统的设计在各个院校的考研题当中呢，涉及到的非常少。

非常少，如果大家觉得学习有难度，那么这部分的内容呢？可以不用掌握啊，可以不用掌握。那么，这部分内容呢？实际上，在计算机控制系统的学习当中，大家呢？会详细的学到那么在这一章当中啊？在这一章当中，通常会考察大家的呢？是这样的几个问题。第一，怎么样来确定一个控制系统？它的开环脉冲传递函数或者是闭环脉冲传递函数或者是误差传递函数以及。或者是它们的z变换表达式啊z变换表达式这一点要注意再有。如何来判定一个离散控制系统是否稳定啊？

是否稳定，那么在里边如果要用到朱莉判据的话，一般针对的呢？都是二阶，三阶这样低阶的离散控制系统。那么这个时候啊，稳定性的判定要注意啊，要注意再有对于一个零散控制系统稳态误差的计算。稳态误差的计算也是非常重要的。此外，能不能够绘制一个离散控制系统？它的根轨迹图这一点呢？大家也要啊！引起重视，这是我们第七章。它的知识结构，那知识结构，那么按照第七章，刚才我们提到的这样的一个知识框架，我们呢，对于第七章的主要知识点啊，来进行一下复习，要进行一下复习。

那么，按照我们第七章刚才提到的问题，我们说了，首先我们要了解零散控制系统的概念。这个呢，刚才我们已经提到了。再有，在第七章当中，我们将会接触到啊一个采样定理啊，一个采样定理香浓采样定理，那么香浓采样定理是这样描述的。它借助于啊，把连续的信号做一个脉冲采样，脉冲采样。那么在这个时候所用到的采样脉冲，采样脉冲序列，它的采样频率的选择要注意这样的一个原则。如果采样器的输入信号具有有限带宽，采样器的输入信号具有有限带宽。

并且呢，有直到啊欧米伽m这么大的频率分量，什么意思呢？假如说。我们进入采样期的啊，连续信号它的啊一个。脉冲宽度，或者说一个最大频频率范围内的信号，如果是这样的，那么这个时候相邻的频谱，相邻的频谱注意哎，它会对应的呢是。是omega 0 -omega m那omega 0，加上omega m那么在采样过程当中怎么样来使相邻的频谱之间不至于发生混叠？我们呢，要注意采样频率的选择，采样频率一般呢，要大于等于二倍的2倍的啊，我们的最高。

带线带线信号的最高频率啊，最高频率，那么这个采样定理它实际上告诉我们的是。高频段的频谱，如果想要不与低频段的频谱之间发生混叠。然后我借助于一个低通滤波器，借助于一个低通滤波器，如果能够恢复原来的信号，那么这个时候呢，我们应该。选择的采样频率，那应该选择的采样频率，那么当信号采样以后，采样以后，经过系统以后呢？我们还需要进行一个保持的过程。因为经过了采样卖出，序列得到的是一系列的点，而这一系列的点呢？

持续的时间非常短，那么怎么样让它变成啊？一个相对持续时间比较长信号。那么这个时候呢？我们需要加一个保质期，比如说。对于这样的一个连续信号而言。我们经过了一个脉冲序列的采样。采样以后呢？得到的是这样的一个结果，一个一个的离散点，那一个一个的离散点。那么，这样的离散点，如何让它能够变成连续信号？我们需要加一个保持器。常见的保质期呢，最简单的就是临接保质期了，临接保质期是把当前的值外推一个周期。啊，外推一个周期，那么一直保持到下一个采样周期，这样的话，原先的离散点就变成了这样的阶梯状的连续信号，那阶梯状的连续信号。

临接保持器，它的传递函数呢？是这样的啊，是这样的。1 -e的负的ts比上s所对应的频率特性。唉，在利用欧拉公式以后，可以得到这样的结果。我们来看一下它的这样的一个频率特性。这呢是一个取样信号，取样信号，它对应的是我们这样的一个啊，临接保持器，它的一个扶贫特性啊，扶贫特性。我们来看一下它的扶贫和向贫分别是什么样的，按照取样信号的波形。这是它的主办，然后呢？对应的副办扶植衰减会非常快。唉，这是它所对应的扶贫，而它的上贫，我们来观察一下。

向平呢，就等于负的omega/2t，因此呢，它是一条直线。斜率为负的直线，随着t的增加，它的橡皮呢？是在乘啊负的减小，那负的减小。那么，临接保持器它的作用在系统当中的作用是什么呢？就是项位上的滞后，这个项位上的滞后，实际上就是时间上的延迟，那么这是临接保质期，它的主要特性。采样器也好，保持器也好，它的引入不会改变这个系统开环传递函数的几点，但是。会改变它所对应的零点啊，它所对应的零点这一点呢，要注意。

我们说了分析一个采样控制系统，它用到的数学基础呢，是我们的z变换z的反变换理论啊z的变换和反变换理论。那么下边呢？我们就来看一下常见的z变换啊，常见的z变换那么什么叫做z变换呢？它实际上就是一个针对于。离散信号的拉时变换，那针对于离散信号的拉时变换，比如说现在我们把一个连续信号做了离散化处理以后，得到了这样的结果。那么这个时候想要对这个离散信号做拉式变换，实际上呢，我们做的是这样的一件事情。当我们引入一个复变量zz呢，等于e的ST以后，我们发现现在这个表达式就不再是关于复变量s的了。

而是关于复变量z的它，等于sigman从零到无穷e的nt，乘以z的负n。z的负n，这样的话，我们把它就叫做离散序列e，它所对应的z变换那z变换。在了解了z变换的定义以后，我们来看一下怎么来求一个常见的离散信号大的z变换。那么常见的方法呢？有两种啊，有两种第一种方法，我们叫它呢集数求和法集数求和法。也就是说，如果现在如果现在我们呢能够。得到某一个信号，它的z变换呢，能够表达成这样的形式。唉，能够表达成这样的形式，那么前面的这些系数，唉和z变换的定义式相比较相比较，如果这个离散序列能够表达成这些系数叠加的形式，那么。

这个时候，它的z变换通过求和我们能够求得，因为集数的求和，除了一些特殊的集数之外，往往是很困难的，所以这个方法呢？仅仅适用于求简单函数的z变换，这是第一种方法，第二种方法呢？我们叫它部分分式法啊，部分分式法。也叫查表法，那么它的思路是这样的，如果知道了一个连续的时间信号，那么它所对应的拉式变换，我们就知道了。如果这些拉式变换知道了，以后我们对它的拉式变换来做部分分式展开展开以后，要注意一点。比如说。

某一个连连续信号，它的拉式变换呢？是ss+1/1，做完部分分式展开以后呢？它等于1/s-s+1/1。那么这个时候，如果我要求它的z变换，一定是先把这个连续信号e的。负t。1 -e的负t，这样的一个连续信号先做离散化处理。得到一。nt-e的负的nt变成了一个离散序列，以后求的是这样一个离散序列的z变换。我们习惯上把它叫做某个连续信号的z变换，实际上是这个连续信号先离散以后所对应的z变换。这是我们的部分分式法展开成，它以后我们查表或者说我们需要大家记住一些常见信号，它的z变换它的z变换。

然后呢，我们就可以求出来了，第三种求z变换的方法流除法用到的比较少，我们不做详细的讲解。那么更常见的z变换理论当中，我们是来求z的，反变换，也就是说，如果在z域当中，我们求出来了，输出的表达式。那么怎么样把它还原到时域当中来求响应呢？涉及到的就是z的反变换了。z的反变换常用的方法有几种？第一种呢？叫做密集数法，也叫常除法。要想用这种方法。我们需要把这个离散信号z变换的分子，分母多项式按照z的负一的生命来排列。

按照z的负一的生命来排列，然后呢，用分子多项式来除以分母多项式得到一个关于。于啊，关于z的负一次幂的这样的一个级数表达式，那么这个级数表达式当中的这个CN。CN就是我们展开的所对应的脉冲序列当中，每一个脉冲它的强度啊，脉冲的强度这点呢，大家要注意啊，这是第一种方法。长除法，那么第二种方法部分分式法，哪部分分式法？所谓的部分分式法呢？是指如果知道了一个信号，它的z变换。那么我们来看一下，通常情况下。一个离散信号，它的z变换，这是一些常见信号的z变换。

这些z变换呢，大家必须要记住它，因为在很多学校的考研试题当中，它不会给你。这些信号的z变换，那不会给你它的z变换，那么我们来观察一下，一般情况下，这些常见信号的z变换。分子多项式当中呢，都会有一个z的存在，都会有一个z的存在，因此如果用部分分式法的话，我们习惯上呢，先求出来x/z。xz它的部分分式展开结果，对于它展开以后的结果啊，部分分式的和来看一下。通过查表法来看一下它所对应的啊离散序列求出来，它的展开式以后把z再还原回去。

比如说。这样的一个东西。唉，如果fz等于它，那么这个时候呢，想要做部分分式展开，我先求出来fz/z，它展开以后呢，等于。z-- 1/1，加上一个z- 1/2啊z- 1/2，那么这个时候我们再把这个z呢乘回去。fz呢，它就等于z-1分之负z，再加上z-z/2然。然后我们利用常见信号的z变换，记住这个公式，把它还原到实域当中去，好还原到实域当中去，这个技巧呢，大家要注意一下，大家要注意一下。这是我们提到的求z的反变换的第二种方法，流数法呢？

在考试当中涉及的比较少，所以在这里呢，我们就不说了啊，就不说了。下面呢，我们来看一下，在掌握了z变换的理论以后，我们该如何在z域当中来建立一个控制系统？它的数学模型啊，建立一个控制系统。它的数学模型，那么z域当中，一个离散控制系统的数学模型呢？我们叫它脉冲传递函数，脉冲传递函数的定义。是什么呢？哎，我们定义在零初始条件下。和连续系统是一样的，唉，零初始条件下。输出的z变换与输入z变换的比值，我们叫它呢脉冲传递函数啊，叫它脉冲传递函数。

那么，通常来求脉冲传递函数的方法有这样的几种，第一种如果时域当中一个离散控制系统，它的差分方程已经知道了。我们可以通过z变换的性质对差分方程呢，来取z变换求得它的脉冲传递函数。第二种方法，如果在没有做离散化之前所对应的连续系统，它的传递函数已经知道了，那么在对这样的一个连续系统做了离散化以后。所对应的离散控制系统，离散控制系统，它的传递函数呢？我们可以这样做，首先对离散以前的连续控制系统。它的传递函数来取一个拉式反变，换拉式反变换，把它还原到时域当中去，我们已经知道了这个连续系统，它传递函数的拉式反变换呢。

就是这个系统的脉冲传递函数，脉冲啊脉冲响应食欲当中的脉冲响应，对于这个脉冲响应呢来做离散化的处理。得到这脉冲响应所对应的离散表达式，再对这个离散表达式呢来取一下z变换就可以得到所对应的连续系统。他的。脉冲传递函数了啊，脉冲传递函数了。而我们常见的求一个系统开环脉冲传递函数，它的啊，形式有这样的几种，我们在前面曾提到过，首先如果前向通道当中的各个环节之间。如果没有采样开关隔开，那么这个时候所对应的开环传递函数，比如说。

好，我们来看一下。那么对于这样的一个啊。开环系统而言，它的三个前向通道当中的环节，彼此之间呢，没有采样开关隔开，那么这个时候所对应。的开环脉冲传递函数就等于它们三者乘积注意，这表示先在扶贫英语当中把它们三个相乘。乘完了以后，对它们的乘积来取z变换，也就是说，我们对g1 sg 2 sg 3s的乘积来取z变换，这是第一种情况。啊，相互串联的环节之间没有采样开关，隔开还有一种情况呢，相互串联的环节之间如果有采样开关隔开。

那么这个时候，它所对应的脉冲传递函数又是谁呢？唉，我们来看一下所对应的脉冲传递函数。它等于实际上一个采样开关，是对一个连续信号呢？做了一次采样，离散化了一次，所以它应该等于ges所对应的z变换。乘以g 2S所对应的z变换，因此如果相互串联的环节之间没有采样开关隔开，它所对应的传递函数等于。它们乘积的z变换啊，如果有采样开关隔开所对应的传递函数呢？等于乘乘z变换的乘积啊，每个环节z变换的乘积。那么，在求开环传递函数的时候，还有一种非常常见的题型，就是求一个含有了临接保持器啊。

还有了临接保持器的系统，它的这变换那么要注意一点，这个临接保持器的传递函数，它是这么多，它是这么多，如果临接保持器和我们的。啊GPS没之间呢，没有采样开关隔开，那么在抚平域当中，它们所对应的传递函数是相乘的，这样的一个关系，如果想求它所。对应的z变换的话，z变换的话，实际上呢，是来对它求z变换啊，求z变换，我们按照按照z变换的性质啊，按照zz变换的性质，我们来看一下。z它不就等于e的ST吗？所以这里实际上就是一个z的负一次幂，我们把它呢用1 -z的负一来代替以后。

现在求z变换，实际上就是在求它的z变换了啊，它的z变换了，所以呢，有临接保持器的这种情况啊，大家要格外重视。这在考研的试卷当中含有临接保持器的零散零散控制系统，是非常常见的。遇到了临接保持器，该如何处理考生呢？要牢固的掌握啊，牢固的掌握。这是建立的一个控制系统，它的开环脉冲传递函数。那么，如果想要建立一个闭环控制系统的脉冲传递函数，我们又该如何处理呢？下面我们通过几个例子来看一下我们常见的典型的闭环系统呢，有这样的几种第一种。

啊，那么如果现在有一个理想控制系统，它的采样开关呢？是在这个地方啊，采样开关是在这里这个时候。所对应的所对应的啊，闭环闭环脉冲传递函数注意啊，是可以求得的，那可以求得的，实际上我们往往在这是加了一个虚拟的采样开关。它的脉冲传递函数等于谁呢？来我们看输入的这个参考信号和前向通道当中的这个ges呢？它们之间是利用采样开关隔开的。所以所对应的传递函数应该等于GE z×rz比上一个来，现在关键在这里。这个闭环当中，按照信号流动的单向性，这两个环节在这样的一个通路上是没有采样开关隔开的，因此应该是它们的乘积。

来求z变换啊，等于系统的输出，等于系统的输出所对应的传递函数，当然可以求出来了，那可以求出来了，这是第一种情况。第二种情况。输入一个信号前向通道呢是ges，然后采样开关呢位于这里。输出端我们不管它，输出端呢，我们完全可以加一个虚拟的采样开关。那么现在想求它的啊，输出或者是它的脉冲传递函数，那么这个题能不能求它的脉冲传递函数呢？能不能求我们？关键是要看输入信号和遇到的第一个前向通道的环节之间是否有采样开关隔开。

第一个例子当中有采样开关隔开，我们是可以求它的传递函数的，而在这个例子当中是没有采样开关隔开的，所以我们只能求输出的表达式。它的表达式是谁呢？来前向通道而呢，和我们的第一个环节没有采样科开关隔开，因此应该是啊，它们两个乘积的z变换。遇到了采样开关啊，遇到了采样开关，采样开关把它俩分开了，后边是g2z，那么闭环是谁？我们要注意一下闭环。如果我们能够找到有那么一个通道，是按照信号流动的单向性，使这些环节之间没有采样开关，隔开的话，那么这个时候。

对应的传递函数就应该是g2 hg 1乘积的z变换啊，这是要注意的一点。再来看一种情况啊，再来看一种情况，如果现在传递函数呢？是这样啊，那个结构图是这样的。啊，那么在这种情况下，我们来观察一下。唉，这两个环节输入信号和前向通道，不管是哪里都是有采样开关隔开的了。所以现在这个系统它是存在脉冲传递函数的，它的脉冲传递函数等于谁呢？前向通道就是gz了啊gz了。gz然后呢？反馈的回路1+gz hz，我们在他们二者之间是找不到一个通道，按照信号流动的单向性，没有采样开关隔开。

因此呢，是它们各自z变换的乘积再来看一种情况吧。哎！那么这个题呢？输入信号。和第一个环节之间是有采样开关隔开的，所以我们是可以求它的闭环脉冲传递函数的。fiz等于谁呢？哎fiz它等于谁前向通道彼此之间是有采样开关隔开的那？那么，在这里无形当中，我们发现梅熏公式，它不光针对连续系统，可以用针对离散系统，它一样可以用。g1z×g二z×g2z所对应的闭环来哎，没有一个前向通道，三个之间彼此隔离，可是这个地方g2和h之间是没有采。

两样开关隔开的，因此它是1+1个g1z×g2h乘积的z变换啊，乘积的z变换。刚才我们给了大家几个例子啊，遇到了求一个系统，它的闭环脉冲传递函数的时候呢，我们要注意，有的系统它的闭环脉冲传递函数是存在的，而有的系统它的。闭环脉冲传递函数呢？是不存在的，是否存在，我们就要看输入信号和第一个前向通道的环节之间是否有采样开关隔开。有的话就能求，没有就不能求，只能求输出的表达式，那输出的表达式，那么这是我们提到的，怎么样借助于z变换理论来建立一个离散控制系统，它的数学模型？

数学模型建立起来以后，我们就要分析这个离散控制系统，它的性能了啊，它的性能了。那么一个离散控制系统，它的性能呢？包括了三个方面啊，包括了三个方面。一个是它的稳定性啊，稳定性，那么我们按照z平面和s平面之间的映射关系可以得到。s平面当中的左半平面映射到z平面当中呢？对应的是一个单位圆的内部啊，单位圆的内部而s的。虚轴s平面的虚轴啊，映射到z平面当中，对应的是一个单位圆的圆，周而s平面当中的右半平面映射到。

z平面当中对应的是单位圆圆外的区域，那么也就是说判定一个离散控制系统是否稳定，它的一个判定标准，我们就是看。这个离散控制系统，它的闭环几点是分布在单位圆的圆内呢，还是圆外？如果在单位圆的圆内，那么它是稳定的。员外不稳定单位圆圆周上就和连续系统的几点位于需求上是一样的道理，系统处于临界稳定啊，临界稳定这是第一个判定的条件啊，判定的条件。比如说如果某一个控制系统离散控制系统，它的闭环脉冲传递函数。我们已经求出来了。

唉，是这样的形式，那么这是一个二阶的离散控制系统，它存在两个闭环，几点一个呢？在0.368这个地方还有一个呢，在负的0.717这个地方。那么，这样的两个极点，在我们z平面当中啊，z平面当中呢，都在单位圆的圆周内。单位圆它的圆周内部。所以这个离散控制系统呢，它是稳定的啊，稳定的一般在考试当中见到的离散控制系统阶次都不会太高，如果要判定它的稳定性的话，首先大家不要想到需用判据来判定。在没有办法的情况下，我们才动用判据，如果我们能够因式分解，找到它的闭环节点，利用单位圆它。

它的分布情况与单位圆极点，与单位圆的分布情况，我们可以很容易的判定它的稳定性。那么，如果不能够直接判定，不能够因式分解得到它的闭环几点，那么这个时候呢，我们才考虑判据常见的判据呢，有两个一个是租赁稳定判据。租赁稳定判据呢？是这样使用的，如果一个离散控制系统在z域当中所对应的闭环特征方程，我们已经知道了。这个闭环特征方程，如果它的每一项系数全为正注意前提条件和连续系统的劳斯判距呢是一样的。啊，所有的系数全为正，那么这个时候呢，我们可以考虑列一个租赁阵列，那租赁阵列，租赁阵列的第一行的系数。

是把我们特征多项式的系数呢啊，从左到右来排列第二行的系数，那和劳斯判距不一样了，它是把。上一行的系数呢？颠倒过来，颠倒过来方向刚好相反，好方向呢，刚好相反。第三行再往后，我们就需要呢进行计算了啊，进行计算了，那么其中这个b0，它的计算是这样的，那是这样的。我们来看一下啊，b0呢，我们在计算它的大小的时候啊，计算它的大小的时候我们要用到劳斯那个朱莉阵列的。第一行和第二行的系数，我们利用租赁阵列啊，想要计算b0。

那么这个时候呢？我们用租赁阵列当中第一列第一行的第一列构成行列式的第一列。然后呢，用它的最后一列构成行列式的第二列啊，行列式的第二列计算出来的值是b0同理b1，它等于谁呢？它等于用劳那个助力阵列啊，前两行的第一列构成，它的第一列，然后用它的倒数第二列。倒数第二列来构成啊，另外的一列那另外的一列因此计算出来。b这一行的系数第三行的系数第四行和第三行的系数呢？刚好颠倒，以此类推，在计算第五行的时候，我们要用到的是第三行。

和第四行它的系数啊，它的系数那么这样的话，我们列出来了，租赁阵列以后一直计算计算到哪里呢？哎，计算到了最后两行系数只有这么多的时候啊，只有这么多的时候，那么这个时候我们可以进行判断了啊，进行判断了。如果这个理想控制系统它要稳定，那么这个时候需要满足的一点带到闭环特征多项式里边。当z=1的时候，它必须得到的结果要大于零特征，多项式的值要大于零。如果n是偶数，当z=- 1的时候，特征多，项式的值呢，是要大于零的，如果n是奇数。

带到特征多项式负一带进去以后，特征多项式的值呢，要小于零。在这种情况下，还必须要满足一点啊，必须要满足一点。朱莉阵列，朱莉阵列，所有的奇数行奇数行135，这样的奇数行。它的第一列的系数，第一列的系数，哎，第一第一行a0呢，它的绝对值要小于an。b0的绝对值要小于b的n- 1，c0的绝对值呢？要小于c的n- 2。一直满足这样的n-1个约束条件啊，n-1个约束条件只有商。上面提到的这些条件都满足第一特征多项式的系数全为正，第二所得到的特征多项式z=1的时候特征多项式的值为正。

如果n是偶数z=- 1的时候特征多，项式的值呢？也为正如果n为奇数z=- 1的时候特征多，项式的值呢？小于零啊，小于零。并且所有基数行第一列的系数，它的绝对值总是小于最后一列系数的绝对值，在满足了这样所有的条件以后，这个离散的控制系统。才是稳定的啊，才是稳定的在考研的试卷当中呢，一般遇到了离散控制系统，往往都是二阶或者三阶的。如果是二阶，三阶这样的系统，我们首先要判定的是这个离散控制系统啊，离散控制系统它的几点，是不是在单位圆内分布，如果没有办法直接判断，我们再来用租赁判据。

用租赁判据的话，二阶系统需要满足的条件是这样的z=1，它大于零z=- 12为偶数。d负一的值呢，也要大于零。同时，由于是二阶系统租赁阵列，计算出来只有两行，那么这两行里面只要满足。第一行，它的首列系数小于第二行，小于它的哎，最后一列系数也就是a0的绝对值，小于a2就可以了。如果是三阶系统基数，那么这个时候呢？它需要-z=- 1的时候小于零，然后z=- 1小于零。同时呢，计算出来的助力阵列助力阵列，它是有三行的啊，应该是四行的，那么这个时候要满足的条件啊，要满足的条件。

大家呢？要注意啊，要注意。这是我们如何采用租赁阵列啊？租赁判据来判定离散控制系统的稳定性。除了这样的两种方法之外，判定离散控制系统的稳定性呢？我们还会用到双线性变换的方法，双线性变换的方法。引入一个欧米伽变换，把它呢从z域引入到了欧米伽域当中，而这个欧米伽域呢和s平面，欧米伽平面和s平面是完全一致的。那么变到了欧米伽域当中以后，我们就可以用劳斯稳定判距来判定它的稳定性了。这是控制系统啊，离散控制系统，它性能分析的第一个方面啊，第一个方面那么剩下呢，还有两个方面暂态性能以及它的稳态精度。

那么，这些部分内容呢？我们留到下一讲来讲，这一讲的内容我们就讲到这里，谢谢大家。